东北师范大学 2023年高等代数第2题
📝 题目
2．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ ，已知线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有解但不唯一．
（1）求 $a$ 的值．
（2）求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\prime} A Q$ 为对角矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析方程组有解但不唯一的条件
线性方程组 $AX=\beta$ 有解但不唯一，则系数矩阵 $A$ 与增广矩阵 $(A|\beta)$ 秩相等且小于3。因此 $A$ 的行列式为零，即 $\det(A)=0$。
公式：$\det(A)=0$
提示：注意：有解但不唯一意味着秩相等且小于未知数个数，即 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|\beta)<3$。
步骤 2/7
目标：计算行列式并求解a的可能值
计算 $A$ 的行列式：
$$\det(A)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = (a+2)(a-1)^2.$$
令 $\det(A)=0$，得 $a=1$ 或 $a=-2$。
公式：$\det(A)=(a+2)(a-1)^2$
提示：行列式计算时注意符号和因式分解，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：验证a=1是否满足条件
当 $a=1$ 时，$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$，$\beta=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$。增广矩阵为 $\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&-2\end{pmatrix}$，秩为1，但第三行对应方程 $0=-3$，无解。故 $a=1$ 不满足。
提示：验证时需检查增广矩阵的秩是否等于系数矩阵的秩，且小于3。
步骤 4/7
目标：验证a=-2满足条件
当 $a=-2$ 时，$A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}$，$\beta=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$。增广矩阵为 $\begin{pmatrix}1&1&-2&1\\1&-2&1&1\\-2&1&1&-2\end{pmatrix}$，行变换后秩为2，且 $\mathrm{rank}(A)=2$，方程组有解且不唯一。故 $a=-2$。
提示：行变换时注意系数矩阵与增广矩阵的同步变换。
步骤 5/7
目标：求矩阵A的特征值
当 $a=-2$ 时，$A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}$。特征多项式为
$$\det(\lambda I-A)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&2\\-1&\lambda+2&-1\\2&-1&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda+2)(\lambda-1)(\lambda-3).$$
特征值：$\lambda_1=-2$，$\lambda_2=1$，$\lambda_3=3$。
公式：$\det(\lambda I-A)=(\lambda+2)(\lambda-1)(\lambda-3)$
提示：特征多项式计算时注意符号，可先对矩阵进行行变换简化。
步骤 6/7
目标：求特征向量并正交化单位化
对于 $\lambda=-2$：解 $(A+2I)x=0$，得 $x_1=x_2=x_3$，单位化得 $\xi_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$。
对于 $\lambda=1$：解 $(A-I)x=0$，得 $x_1+x_2-2x_3=0$，取正交于 $\xi_1$ 的向量，如 $(1,-1,0)^T$，单位化得 $\xi_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$。
对于 $\lambda=3$：解 $(A-3I)x=0$，得 $x_1=x_2=-x_3$，取 $(1,1,-2)^T$，单位化得 $\xi_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T$。
提示：不同特征值的特征向量自动正交，但需注意单位化。对于重根，需施密特正交化。
步骤 7/7
目标：构造正交矩阵并写出对角化结果
正交矩阵 $Q=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$，即
$$Q=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$
则 $Q^TAQ=\mathrm{diag}(-2,1,3)$。
公式：$Q^TAQ=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$
提示：检查Q的列是否正交且单位化，对角矩阵的对角元顺序与Q的列对应。
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