东北师范大学 2023年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的一个 $m$ 次多项式，$n$ 是大于 $m$ 的正整数，证明：$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：假设根的存在
假设 $\sqrt[n]{2}$ 是 $f(x)$ 的实根，即 $f(\sqrt[n]{2})=0$。
提示：注意这是反证法的假设，后续要推出矛盾。
步骤 2/7
目标：引入多项式 $x^n-2$
考虑多项式 $g(x)=x^n-2$，显然 $g(\sqrt[n]{2})=0$，即 $\sqrt[n]{2}$ 是 $g(x)$ 的根。
公式：$g(x)=x^n-2$
提示：注意 $n>m$，且 $g(x)$ 的次数为 $n$。
步骤 3/7
目标：证明 $x^n-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约
使用Eisenstein判别法：取素数 $p=2$，则 $p$ 整除所有系数（除首项系数1外），且 $p^2$ 不整除常数项 $-2$，因此 $x^n-2$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 上不可约。
公式：Eisenstein判别法：$p=2$
提示：注意常数项是 $-2$，$p^2=4$ 不整除 $-2$。
步骤 4/7
目标：确定极小多项式
由于 $x^n-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约且以 $\sqrt[n]{2}$ 为根，因此 $\sqrt[n]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式就是 $x^n-2$，其次数为 $n$。
公式：$\text{irr}(\sqrt[n]{2}, \mathbb{Q}) = x^n-2$
提示：极小多项式是首一不可约多项式，且次数最小。
步骤 5/7
目标：应用极小多项式的性质
若 $\sqrt[n]{2}$ 是 $f(x)$ 的根，则极小多项式 $x^n-2$ 必须整除 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中。即存在 $h(x)\in\mathbb{Q}[x]$ 使得 $f(x)=(x^n-2)h(x)$。
公式：$f(x)=(x^n-2)h(x)$
提示：注意整除关系成立是因为极小多项式生成理想。
步骤 6/7
目标：比较次数导出矛盾
由 $f(x)=(x^n-2)h(x)$ 得 $\deg f = n + \deg h \ge n$。但已知 $\deg f = m < n$，矛盾。因此假设不成立。
公式：$\deg f = m < n = \deg(x^n-2)$
提示：注意 $\deg h \ge 0$，所以 $\deg f \ge n$。
步骤 7/7
目标：得出结论
所以 $\sqrt[n]{2}$ 不是 $f(x)$ 的实根。
提示：反证法完成。
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