东北师范大学 2023年高等代数第10题
📝 题目
10．证明双曲抛物面同族的任意两条直母线必是异面直线，且同族的整体 直母线平行于同一个平面
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出双曲抛物面的标准方程和直母线参数方程
双曲抛物面的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$。它有两族直母线，第一族参数方程为：
$$\begin{cases} x = a(u+v) \\ y = b(u-v) \\ z = 2uv \end{cases}$$
其中 $u$ 为参数，$v$ 为常数（或 $v$ 为参数，$u$ 为常数）。第二族参数方程为：
$$\begin{cases} x = a(u-v) \\ y = b(u+v) \\ z = -2uv \end{cases}$$
其中 $u$ 为参数，$v$ 为常数（或 $v$ 为参数，$u$ 为常数）。
公式：\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z
提示：注意两族直母线的参数方程形式不同，符号差异容易混淆。
步骤 2/6
目标：取同族两条不同的直母线并写出方向向量
取第一族中两条不同的直母线，对应 $v = v_1$ 和 $v = v_2$（$v_1 \neq v_2$）。它们的参数方程分别为：
$$L_1: \begin{cases} x = a(u+v_1) \\ y = b(u-v_1) \\ z = 2uv_1 \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} x = a(u+v_2) \\ y = b(u-v_2) \\ z = 2uv_2 \end{cases}$$
方向向量分别为 $\vec{s}_1 = (a, b, 2v_1)$ 和 $\vec{s}_2 = (a, b, 2v_2)$。由于 $v_1 \neq v_2$，$\vec{s}_1$ 与 $\vec{s}_2$ 不平行，故两直线不平行。
提示：方向向量由参数 $u$ 的系数得到，注意 $z$ 坐标的系数是 $2v$。
步骤 3/6
目标：证明两条直线不相交
假设存在参数 $u_1, u_2$ 使得 $L_1$ 上的点 $(a(u_1+v_1), b(u_1-v_1), 2u_1v_1)$ 与 $L_2$ 上的点 $(a(u_2+v_2), b(u_2-v_2), 2u_2v_2)$ 重合。则得到方程组：
$$\begin{cases} a(u_1+v_1) = a(u_2+v_2) \\ b(u_1-v_1) = b(u_2-v_2) \end{cases}$$
化简得：
$$\begin{cases} u_1+v_1 = u_2+v_2 \\ u_1-v_1 = u_2-v_2 \end{cases}$$
两式相加得 $2u_1 = 2u_2$，即 $u_1 = u_2$；代入第一式得 $v_1 = v_2$，与 $v_1 \neq v_2$ 矛盾。故不相交。
提示：注意 $a, b$ 非零，可以直接约去。
步骤 4/6
目标：得出同族任意两条直母线是异面直线
由于两条直线不平行也不相交，因此它们是异面直线。同理可证第二族中任意两条直母线也是异面直线。
提示：异面直线的判定：既不平行也不相交。
步骤 5/6
目标：证明同族直母线平行于同一个平面
第一族直母线的方向向量为 $\vec{s} = (a, b, 2v)$。考虑向量 $\vec{n} = (b, -a, 0)$，计算点积：
$$\vec{s} \cdot \vec{n} = a \cdot b + b \cdot (-a) + 2v \cdot 0 = ab - ab = 0$$
因此所有方向向量垂直于 $\vec{n}$，即平行于以 $\vec{n}$ 为法向量的平面 $bx - ay = 0$。同理，第二族方向向量为 $(a, -b, -2v)$，与 $\vec{n}' = (b, a, 0)$ 点积为零，平行于平面 $bx + ay = 0$。
公式：\vec{s} \cdot \vec{n} = 0
提示：注意平面方程由法向量确定，方向向量与法向量垂直则直线平行于平面。
步骤 6/6
目标：总结结论
双曲抛物面同族的任意两条直母线是异面直线，且同族的整体直母线平行于同一个平面。
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