东北师范大学 2023年高等代数第4题
📝 题目
4．证明：秩等于 $r$ 的矩阵可以表示为 $r$ 个秩等于 1 的矩阵之和，但不能表示为少于 $r$ 个秩等于 1 的矩阵之和。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将矩阵化为标准型
设矩阵 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$ 的秩为 $r$。根据秩分解定理，存在可逆矩阵 $P \in \mathbb{F}^{m \times m}$ 和 $Q \in \mathbb{F}^{n \times n}$，使得 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。
公式：A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆矩阵，且标准型中左上角是 $r$ 阶单位矩阵。
步骤 2/7
目标：将标准型分解为r个秩1矩阵之和
令 $B = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $B$ 可写为 $r$ 个秩1矩阵之和：$B = \sum_{i=1}^r E_{ii}$，其中 $E_{ii}$ 是第 $(i,i)$ 位置为1、其余为0的矩阵，秩为1。
公式：B = \sum_{i=1}^r E_{ii}
提示：每个 $E_{ii}$ 只有一行一列非零，秩为1。
步骤 3/7
目标：将分解式代回原矩阵
于是 $A = P \left( \sum_{i=1}^r E_{ii} \right) Q = \sum_{i=1}^r P E_{ii} Q$。
公式：A = \sum_{i=1}^r P E_{ii} Q
提示：矩阵乘法分配律。
步骤 4/7
目标：证明每个P E_{ii} Q的秩为1
由于 $P$ 和 $Q$ 可逆，左乘或右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，因此 $\operatorname{rank}(P E_{ii} Q) = \operatorname{rank}(E_{ii}) = 1$。所以 $A$ 是 $r$ 个秩1矩阵之和。
公式：\operatorname{rank}(P E_{ii} Q) = \operatorname{rank}(E_{ii}) = 1
提示：可逆矩阵相乘不改变秩。
步骤 5/7
目标：假设A可表示为少于r个秩1矩阵之和
假设 $A$ 可以表示为 $k$ 个秩1矩阵之和：$A = \sum_{i=1}^k A_i$，其中 $\operatorname{rank}(A_i)=1$，且 $k < r$。
提示：注意这里是反证法假设。
步骤 6/7
目标：利用列空间维数导出矛盾
每个 $A_i$ 的列空间维数为1，因此 $A$ 的列空间包含于所有 $A_i$ 的列空间之和：$\operatorname{Col}(A) \subseteq \operatorname{Col}(A_1) + \cdots + \operatorname{Col}(A_k)$。右边和的维数至多为 $k$，所以 $r = \dim \operatorname{Col}(A) \leq k$，与 $k < r$ 矛盾。
公式：r = \dim \operatorname{Col}(A) \leq k
提示：列空间维数等于秩。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，$A$ 不能表示为少于 $r$ 个秩1矩阵之和。综上，秩为 $r$ 的矩阵可以表示为 $r$ 个秩1矩阵之和，且不能表示为少于 $r$ 个秩1矩阵之和。
提示：结论要完整。
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