东北师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1．（15 分）设 $n$ 是大于 1 的正整数，$t_{1}, \cdots, t_{n}$ 是 $n$ 个未定元，计算下列 $n$ 阶行列式的值：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1+t_{1} & 1+t_{2} & \cdots & 1+t_{n} \\
2+t_{1} & 3+t_{2} & \cdots & (n+1)+t_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
2^{n-1}+t_{1} & 3^{n-1}+t_{2} & \cdots & (n+1)^{n-1}+t_{n}
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：拆分行列式为两个行列式之和
原行列式的每一列都是两个向量的和：第 $j$ 列向量为 $(1+t_j, 2+t_j, \dots, 2^{n-1}+t_j)^T$，可拆分为 $(1,2,\dots,2^{n-1})^T$ 与 $(t_j,t_j,\dots,t_j)^T$ 之和。根据行列式的多重线性性质，可将原行列式拆分为两个行列式的和：
$$
\begin{vmatrix}
1+t_1 & 1+t_2 & \cdots & 1+t_n \\
2+t_1 & 3+t_2 & \cdots & (n+1)+t_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
2^{n-1}+t_1 & 3^{n-1}+t_2 & \cdots & (n+1)^{n-1}+t_n
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 3 & \cdots & n+1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
2^{n-1} & 3^{n-1} & \cdots & (n+1)^{n-1}
\end{vmatrix}
+ \begin{vmatrix}
t_1 & t_2 & \cdots & t_n \\
t_1 & t_2 & \cdots & t_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_1 & t_2 & \cdots & t_n
\end{vmatrix}.
$$
公式：行列式的多重线性性质：若某列是两列之和，则行列式等于两个行列式之和。
提示：拆分时注意每个元素都要正确拆分，且第二个行列式的每一行都是相同的向量 $(t_1,t_2,\dots,t_n)$。
步骤 2/5
目标：识别第一个行列式为范德蒙德行列式
第一个行列式为
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 3 & \cdots & n+1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
2^{n-1} & 3^{n-1} & \cdots & (n+1)^{n-1}
\end{vmatrix}.
$$
观察其结构：第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $(j+1)^{i-1}$（其中 $i=1,\dots,n$，$j=1,\dots,n$）。这正是以 $x_j = j+1$ 为节点的范德蒙德行列式，即
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix},
$$
其中 $x_j = j+1$。
公式：范德蒙德行列式：$\prod_{1\le i
提示：注意行索引从0开始（第一行对应0次幂），列对应不同的 $x_j$。
步骤 3/5
目标：计算范德蒙德行列式的值
根据范德蒙德行列式公式，该行列式的值为
$$
\prod_{1\le i
公式：$\prod_{k=1}^{n-1} k! = \prod_{k=1}^{n-1} k^{n-k}$。
提示：注意指数 $n-k$ 的推导，避免遗漏。
步骤 4/5
目标：分析第二个行列式
第二个行列式为
$$
\begin{vmatrix}
t_1 & t_2 & \cdots & t_n \\
t_1 & t_2 & \cdots & t_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_1 & t_2 & \cdots & t_n
\end{vmatrix}.
$$
该行列式的所有行都相同（均为 $(t_1,t_2,\dots,t_n)$），因此各行线性相关，行列式值为0。
公式：若行列式有两行相同或成比例，则行列式为0。
提示：注意所有行完全相同，比例系数为1，直接得出值为0。
步骤 5/5
目标：得出原行列式的值
原行列式等于第一个行列式与第二个行列式之和，即
$$
\prod_{k=1}^{n-1} k! + 0 = \prod_{k=1}^{n-1} k!.
$$
因此原行列式的值为 $\prod_{k=1}^{n-1} k!$。
提示：最终结果是一个与 $t_1,\dots,t_n$ 无关的常数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。