📝 东北师范大学 2025年高等代数真题

1．（15 分）设 $n$ 是大于 1 的正整数，$t_{1}, \cdots, t_{n}$ 是 $n$ 个未定元，计算下列 $n$ 阶行列式的值：

$$
\left|\begin{array}{cccc}
1+t_{1} & 1+t_{2} & \cdots & 1+t_{n} \\
2+t_{1} & 3+t_{2} & \cdots & (n+1)+t_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
2^{n-1}+t_{1} & 3^{n-1}+t_{2} & \cdots & (n+1)^{n-1}+t_{n}
\end{array}\right|
$$

2．（15 分）设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ a & 1 & 1 \\ b & 1 & 0\end{array}\right)$ ，且与矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似．
（1）（ 5 分）求整数 $a$ 和 $b$ 的值．
（2）（10 分）求正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T=B$ ．

3．（15 分）设 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，$b$ 是 $m$ 维非零向量，$X$ 是 $n$ 个未知量构成的 $n$ 维向量，向量方程 $A X=b$ 的增广矩阵记为 $C$ ，若 $A$ 的秩 $r(A)$ 与 $C$ 的秩 $r(C)$ 都是 $r$ ，且满足 $1 \leq r<n$ ，证明：
（1）（5 分）若 $X_{1}, \cdots, X_{n-r}$ 是 $n-r$ 个线性无关的 $n$ 维向量，且

$$
A X_{k}=0, k=1,2, \cdots, n-r
$$

则 $X_{1}, \cdots, X_{n-r}$ 是向量方程 $A X=0$ 的一个基础解系．
（2）（10 分）若 $Y_{1}, \cdots, Y_{n-r+1}$ 是 $n-r+1$ 个线性无关的 $n$ 维向量，且

$$
A Y_{s}=b, s=1,2, \cdots, n-r+1
$$

则向量方程 $A X=b$ 的任何一个解可由 $Y_{1}, \cdots, Y_{n-r+1}$ 线性表示．

4．（15 分）设 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，$B$ 是 $n$ 行 $s$ 列矩阵．证明：
（1）（5 分）若 $A B=O$ ，则 $r(A)+r(B) \leq n$ ．
（2）（10 分）$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ．

5．（10 分）设矩阵 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，且 $A B=B A$ ，证明：$A B$ 也是正定矩阵。

6．（15 分）设 $f(x), g(x)$ 是多项式，且 $x^{2}+x+1$ 整除 $f\left(x^{3}\right)+x g\left(x^{3}\right)$ ．
（1）（10 分）证明：$x-1$ 整除 $f(x)$ ，且 $x-1$ 整除 $g(x)$ ．
（2）（5 分）若 $f(x)$ 是 $x-1$ 的方幂，$h(x)$ 和 $q(x)$ 是多项式，且 $f(x) \mid h(x) q(x)$ ．证明：或者 $f(x)$整除 $h(x)$ ，或者 $f(x)$ 整除 $q(x)$ 的某个方幂。

7．（15 分）设 $V$ 是有限维向量空间，$\Phi$ 和 $\Psi$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $\Phi \Psi=\Psi \Phi$ ．
（1）（5 分）若 $M$ 是 $\Phi$ 的不变子空间，则 $\Psi(M)$ 也是 $\Phi$ 的不变子空间．
（2）（10 分）若 $\Phi$ 和 $\Psi$ 都可对角化，证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\Phi$ 和 $\Psi$ 在这组基下的矩阵都是对角矩阵。

8．（15分）空间直角坐标系下，已知两异面直线的方程分别为

$$
l_{1}: \frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}, \quad l_{2}: \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-1} .
$$

（1）（10 分）求两条异面直线的公垂线方程．
（2）（5 分）求该公垂线在坐标平面 $x O y$ 的射影直线方程．

9．（15 分）已知空间中的两条异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离是 $4, l_{1}$ 与 $l_{2}$ 所成角是 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ，建立空间直角坐标系，求直线 $l_{1}$ 绕 $l_{2}$ 旋转一周所成的曲面的方程．

10．（20分）空间直角坐标系下，已知两相交平面方程分别为

$$
\pi_{1}: x-2 y-2 z-3=0, \quad \pi_{2}: 6 x+3 y-2 z-4=0 .
$$

（1）（10 分）求 $\pi_{1}$ 与 $\pi_{2}$ 所成的二面角的角平分面方程。
（2）（10 分）说明上述哪一个角平分面是位于坐标原点所在的二面角的角平分面．