东北师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
8．（15分）空间直角坐标系下，已知两异面直线的方程分别为
$$
l_{1}: \frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}, \quad l_{2}: \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-1} .
$$
（1）（10 分）求两条异面直线的公垂线方程．
（2）（5 分）求该公垂线在坐标平面 $x O y$ 的射影直线方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：提取直线方向向量和点坐标
直线 $l_1$ 的标准式：$\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}$，方向向量 $\mathbf{s}_1=(2,-2,-1)$，过点 $P_1=(0,-2,1)$。
直线 $l_2$ 的标准式：$\frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-1}$，方向向量 $\mathbf{s}_2=(4,2,-1)$，过点 $P_2=(1,3,-1)$。
提示：注意直线方程中分母为方向向量的分量，分子中减去的常数对应点的坐标。
步骤 2/8
目标：求公垂线方向向量
公垂线方向向量 $\mathbf{s}$ 垂直于 $\mathbf{s}_1$ 和 $\mathbf{s}_2$，故 $\mathbf{s}=\mathbf{s}_1\times\mathbf{s}_2$。
计算：$\mathbf{s}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & -1 \\ 4 & 2 & -1 \end{vmatrix} = ( (-2)(-1)-(-1)(2), -[(2)(-1)-(-1)(4)], (2)(2)-(-2)(4) ) = (2+2, -(-2+4), 4+8) = (4, -2, 12)$。
简化得 $\mathbf{s}=(2,-1,6)$。
公式：向量叉积公式：$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)$
提示：叉积结果可约去公因子，简化计算。
步骤 3/8
目标：设公垂线与两直线交点参数
设公垂线交 $l_1$ 于 $A$，$l_2$ 于 $B$。由参数方程：
$A=(2t, -2-2t, 1-t)$，$B=(1+4s, 3+2s, -1-s)$。
则 $\overrightarrow{AB}=(1+4s-2t, 5+2s+2t, -2-s+t)$。
公式：直线的参数方程：$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=t$
提示：注意参数符号，$l_1$ 中 $y$ 和 $z$ 的表达式要正确。
步骤 4/8
目标：利用共线条件列方程
由于 $\overrightarrow{AB}$ 与公垂线方向 $\mathbf{s}=(2,-1,6)$ 平行，对应分量成比例：
$\frac{1+4s-2t}{2}=\frac{5+2s+2t}{-1}=\frac{-2-s+t}{6}$。
由前两个等式得：$1+4s-2t = -2(5+2s+2t) \Rightarrow 8s+2t=-11$。
由第一和第三等式得：$6(1+4s-2t)=2(-2-s+t) \Rightarrow 26s-14t=-10$，即 $13s-7t=-5$。
公式：向量平行条件：$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$
提示：注意比例式中的符号，避免计算错误。
步骤 5/8
目标：解方程组求参数
解方程组：
$\begin{cases} 8s+2t=-11 \\ 13s-7t=-5 \end{cases}$
将第一个方程乘以7：$56s+14t=-77$，第二个方程乘以2：$26s-14t=-10$，相加得 $82s=-87$，故 $s=-\frac{87}{82}$。
代入第二个方程：$13\left(-\frac{87}{82}\right)-7t=-5 \Rightarrow -\frac{1131}{82}-7t=-5 \Rightarrow -7t=-5+\frac{1131}{82}=\frac{721}{82} \Rightarrow t=-\frac{103}{82}$。
公式：二元一次方程组解法（加减消元）
提示：分数运算要仔细，可先通分再计算。
步骤 6/8
目标：求公垂线上一点坐标
取 $A$ 点：$A=(2t, -2-2t, 1-t)$，代入 $t=-\frac{103}{82}$：
$x=2\left(-\frac{103}{82}\right)=-\frac{206}{82}=-\frac{103}{41}$，
$y=-2-2\left(-\frac{103}{82}\right)=-2+\frac{206}{82}=\frac{-164+206}{82}=\frac{42}{82}=\frac{21}{41}$，
$z=1-\left(-\frac{103}{82}\right)=1+\frac{103}{82}=\frac{82+103}{82}=\frac{185}{82}$。
故 $A=\left(-\frac{103}{41}, \frac{21}{41}, \frac{185}{82}\right)$。
提示：分数化简，注意分母统一。
步骤 7/8
目标：写出公垂线方程
公垂线过点 $A$，方向 $\mathbf{s}=(2,-1,6)$，对称式方程为：
$\frac{x+\frac{103}{41}}{2}=\frac{y-\frac{21}{41}}{-1}=\frac{z-\frac{185}{82}}{6}$。
整理为整系数：乘以分母的最小公倍数，得
$\frac{41x+103}{2}=\frac{41y-21}{-1}=\frac{82z-185}{12}$。
公式：直线的对称式方程：$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$
提示：注意分子中减去的点坐标符号，以及分母方向向量的符号。
步骤 8/8
目标：求公垂线在xOy平面上的射影直线
射影直线即公垂线在 $z=0$ 平面上的投影。由公垂线方程，令 $z=0$，利用比例式求 $x,y$：
由 $\frac{41x+103}{2}=\frac{82\cdot0-185}{12}=\frac{-185}{12}$，得 $12(41x+103)=-370 \Rightarrow 492x+1236=-370 \Rightarrow 492x=-1606 \Rightarrow x=-\frac{803}{246}$。
由 $\frac{41y-21}{-1}=\frac{-185}{12}$，得 $12(41y-21)=185 \Rightarrow 492y-252=185 \Rightarrow 492y=437 \Rightarrow y=\frac{437}{492}$。
射影直线过点 $\left(-\frac{803}{246}, \frac{437}{492}, 0\right)$，方向向量为 $(2,-1,0)$（$z$ 方向投影为0）。
方程：$\frac{x+\frac{803}{246}}{2}=\frac{y-\frac{437}{492}}{-1}, z=0$。
化简为一般式：$x+2y+\frac{61}{41}=0, z=0$。
公式：空间直线在坐标平面上的投影：消去垂直坐标
提示：投影直线方向向量取原方向向量在平面上的投影，即去掉z分量。
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