东北师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2．（15 分）设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ a & 1 & 1 \\ b & 1 & 0\end{array}\right)$ ，且与矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似．
（1）（ 5 分）求整数 $a$ 和 $b$ 的值．
（2）（10 分）求正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T=B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用相似矩阵特征值相同求特征多项式
由于 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 的特征值与 $B$ 相同，即 $1,2,-1$。计算 $A$ 的特征多项式：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -a & -b \\ -a & \lambda-1 & -1 \\ -b & -1 & \lambda \end{vmatrix}$$
公式：特征多项式定义：$\det(\lambda I - A)$
提示：注意行列式展开时符号不要出错，尤其是副对角线元素。
步骤 2/7
目标：化简特征多项式并与已知多项式比较
展开行列式并化简得：
$$\det(\lambda I - A) = \lambda^3 - 2\lambda^2 - (a^2+b^2)\lambda + (1+b^2)$$
而 $B$ 的特征多项式为 $(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda+1) = \lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2$。比较系数得：
$$- (a^2+b^2) = -1 \Rightarrow a^2+b^2 = 1$$
$$1+b^2 = 2 \Rightarrow b^2 = 1$$
公式：多项式相等则对应系数相等
提示：化简过程要仔细，合并同类项时注意符号。
步骤 3/7
目标：解出整数a和b
由 $b^2=1$ 得 $b=\pm 1$，代入 $a^2+b^2=1$ 得 $a^2=0$，故 $a=0$。所以 $a=0, b=\pm 1$。
提示：注意a,b为整数，且b有两个可能值。
步骤 4/7
目标：分情况求特征向量（以b=1为例）
当 $a=0, b=1$ 时，$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。
对于 $\lambda=1$：解 $(I-A)x=0$，得 $x_3=0, x_1+x_2=0$，取 $\xi_1=(1,-1,0)^T$。
对于 $\lambda=2$：解 $(2I-A)x=0$，得 $x_1=x_3, x_2=x_3$，取 $\xi_2=(1,1,1)^T$。
对于 $\lambda=-1$：解 $(-I-A)x=0$，得 $2x_1+x_3=0, 2x_2+x_3=0, x_1+x_2+x_3=0$，取 $\xi_3=(1,1,-2)^T$。
公式：特征方程：$(\lambda I - A)x=0$
提示：解齐次线性方程组时，注意自由变量的选取，确保向量线性无关。
步骤 5/7
目标：正交化与单位化（b=1）
检查内积：$\xi_1 \cdot \xi_2 = 0$，$\xi_1 \cdot \xi_3 = 0$，$\xi_2 \cdot \xi_3 = 0$，已正交。单位化：
$$\eta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T, \quad \eta_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T, \quad \eta_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T$$
则正交矩阵 $T = (\eta_1, \eta_2, \eta_3)$，即
$$T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$$
公式：单位化：$\eta = \frac{\xi}{\|\xi\|}$
提示：正交性需验证，若不正交需使用Schmidt正交化。
步骤 6/7
目标：分情况求特征向量（b=-1）
当 $a=0, b=-1$ 时，$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。
对于 $\lambda=1$：解 $(I-A)x=0$，得 $x_1+x_2=0, x_3=0$，取 $\xi_1=(1,1,0)^T$。
对于 $\lambda=2$：解 $(2I-A)x=0$，得 $x_1=x_3, x_2=-x_3$，取 $\xi_2=(1,-1,-1)^T$。
对于 $\lambda=-1$：解 $(-I-A)x=0$，得 $2x_1-x_3=0, 2x_2+x_3=0, -x_1+x_2+x_3=0$，取 $\xi_3=(1,-1,2)^T$。
提示：注意b=-1时矩阵元素符号变化，解方程组时仔细。
步骤 7/7
目标：正交化与单位化（b=-1）
检查内积：$\xi_1 \cdot \xi_2 = 0$，$\xi_1 \cdot \xi_3 = 0$，$\xi_2 \cdot \xi_3 = 0$，已正交。单位化：
$$\eta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T, \quad \eta_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,-1)^T, \quad \eta_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^T$$
则正交矩阵 $T = (\eta_1, \eta_2, \eta_3)$，即
$$T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$$
提示：单位化时注意模长计算正确。
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