东北师范大学 2025年高等代数第0题

设 $M$ 是 $\Phi$ 的不变子空间，即对任意 $x \in M$，有 $\Phi(x) \in M$。要证 $\Psi(M)$ 是 $\Phi$ 的不变子空间，即对任意 $y \in \Psi(M)$，有 $\Phi(y) \in \Psi(M)$。任取 $y \in \Psi(M)$，则存在 $x \in M$ 使得 $y = \Psi(x)$。由于 $\Phi$ 和 $\Psi$ 可交换，即 $\Phi\Psi = \Psi\Phi$，所以 $\Phi(y) = \Phi(\Psi(x)) = (\Phi\Psi)(x) = (\Psi\Phi)(x) = \Psi(\Phi(x))$。因为 $M$ 是 $\Phi$ 的不变子空间，$\Phi(x) \in M$，从而 $\Psi(\Phi(x)) \in \Psi(M)$。因此 $\Phi(y) \in \Psi(M)$，故 $\Psi(M)$ 是 $\Phi$ 的不变子空间。

由于 $\Phi$ 可对角化，$V$ 可分解为 $\Phi$ 的特征子空间的直和：$V = \bigoplus_{\lambda} V_\lambda$，其中 $V_\lambda = \{v \in V \mid \Phi(v) = \lambda v\}$。

任取 $v \in V_\lambda$，则 $\Phi(v) = \lambda v$。由交换性，$\Phi(\Psi(v)) = \Psi(\Phi(v)) = \Psi(\lambda v) = \lambda \Psi(v)$，所以 $\Psi(v) \in V_\lambda$，即 $\Psi(V_\lambda) \subseteq V_\lambda$。

由于 $\Psi$ 可对角化，$\Psi$ 限制在 $V_\lambda$ 上也可对角化（因为 $\Psi$ 在 $V_\lambda$ 上的最小多项式整除其在 $V$ 上的最小多项式，且无重根）。因此 $V_\lambda$ 可分解为 $\Psi$ 的特征子空间的直和：$V_\lambda = \bigoplus_{\mu} W_{\lambda,\mu}$，其中 $W_{\lambda,\mu} = \{v \in V_\lambda \mid \Psi(v) = \mu v\}$。

于是 $V = \bigoplus_{\lambda} \bigoplus_{\mu} W_{\lambda,\mu}$，且在每个 $W_{\lambda,\mu}$ 上，$\Phi$ 和 $\Psi$ 分别作用为标量乘法：$\Phi(v) = \lambda v$，$\Psi(v) = \mu v$。取每个 $W_{\lambda,\mu}$ 的一组基，合并即得 $V$ 的一组基，在这组基下 $\Phi$ 和 $\Psi$ 的矩阵都是对角矩阵（对角元分别为对应的特征值）。