东北师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3．（15 分）设 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，$b$ 是 $m$ 维非零向量，$X$ 是 $n$ 个未知量构成的 $n$ 维向量，向量方程 $A X=b$ 的增广矩阵记为 $C$ ，若 $A$ 的秩 $r(A)$ 与 $C$ 的秩 $r(C)$ 都是 $r$ ，且满足 $1 \leq r<n$ ，证明：
（1）（5 分）若 $X_{1}, \cdots, X_{n-r}$ 是 $n-r$ 个线性无关的 $n$ 维向量，且
$$
A X_{k}=0, k=1,2, \cdots, n-r
$$
则 $X_{1}, \cdots, X_{n-r}$ 是向量方程 $A X=0$ 的一个基础解系．
（2）（10 分）若 $Y_{1}, \cdots, Y_{n-r+1}$ 是 $n-r+1$ 个线性无关的 $n$ 维向量，且
$$
A Y_{s}=b, s=1,2, \cdots, n-r+1
$$
则向量方程 $A X=b$ 的任何一个解可由 $Y_{1}, \cdots, Y_{n-r+1}$ 线性表示．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定齐次方程解空间维数
已知 $r(A)=r$，且 $1 \leq r < n$，则齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间维数为 $n-r$。
公式：解空间维数 = n - r(A)
提示：注意 $r(A)=r$ 且 $r
步骤 2/7
目标：验证向量组是解且线性无关
由条件，$X_1,\dots,X_{n-r}$ 满足 $AX_k=0$，即它们都是解向量；且已知它们线性无关。
提示：线性无关性由题目直接给出，无需额外证明。
步骤 3/7
目标：得出基础解系结论
解空间维数为 $n-r$，而 $n-r$ 个线性无关的解向量构成一组基，因此 $X_1,\dots,X_{n-r}$ 是 $AX=0$ 的一个基础解系。
提示：基础解系要求向量个数等于解空间维数且线性无关。
步骤 4/7
目标：构造齐次解向量组
考虑差向量 $Y_i - Y_1$（$i=2,\dots,n-r+1$）。由于 $AY_i=b$，$AY_1=b$，则 $A(Y_i-Y_1)=0$，故这些差向量是 $AX=0$ 的解。
公式：A(Y_i - Y_1) = 0
提示：注意非齐次方程的解之差是齐次方程的解。
步骤 5/7
目标：证明差向量线性无关
假设 $\sum_{i=2}^{n-r+1} c_i (Y_i-Y_1)=0$，则 $\sum_{i=2}^{n-r+1} c_i Y_i - (\sum_{i=2}^{n-r+1} c_i)Y_1=0$，即 $Y_1,\dots,Y_{n-r+1}$ 线性相关，与已知矛盾。故 $Y_2-Y_1,\dots,Y_{n-r+1}-Y_1$ 线性无关。
提示：利用原向量组线性无关反证。
步骤 6/7
目标：确定差向量构成齐次解基
齐次解空间维数为 $n-r$，而差向量组有 $n-r$ 个线性无关的解，因此构成 $AX=0$ 的一组基。
提示：基的个数等于维数且线性无关。
步骤 7/7
目标：表示任意解
设 $\eta$ 是 $AX=b$ 的任一解，则 $\eta - Y_1$ 是 $AX=0$ 的解，故存在系数 $c_2,\dots,c_{n-r+1}$ 使得 $\eta - Y_1 = \sum_{i=2}^{n-r+1} c_i (Y_i-Y_1)$。整理得 $\eta = (1-\sum_{i=2}^{n-r+1} c_i)Y_1 + \sum_{i=2}^{n-r+1} c_i Y_i$，即 $\eta$ 可由 $Y_1,\dots,Y_{n-r+1}$ 线性表示。
公式：η = (1 - Σc_i)Y_1 + Σc_i Y_i
提示：注意系数和为1，但线性表示不要求系数和为1。
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