东北师范大学 2025年高等代数第0题

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times s$ 矩阵，且 $AB=O$。则 $B$ 的每一列都是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。因此，$B$ 的列向量组可由 $Ax=0$ 的基础解系线性表示。设 $r(A)=r$，则 $Ax=0$ 的基础解系含有 $n-r$ 个向量，故 $r(B)\leq n-r$，即 $r(A)+r(B)\leq n$。

考虑分块矩阵 $\begin{pmatrix} I_n & B \\ A & O \end{pmatrix}$，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。对该矩阵进行初等变换：将第一行块左乘 $-A$ 加到第二行块，得 $\begin{pmatrix} I_n & B \\ O & -AB \end{pmatrix}$；再将第一列块右乘 $-B$ 加到第二列块，得 $\begin{pmatrix} I_n & O \\ O & -AB \end{pmatrix}$。由于初等变换不改变矩阵的秩，故 $r\begin{pmatrix} I_n & B \\ A & O \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} I_n & O \\ O & -AB \end{pmatrix} = n + r(AB)$。

另一方面，考虑矩阵 $\begin{pmatrix} I_n & B \\ A & O \end{pmatrix}$ 的秩。由秩的不等式，有 $r\begin{pmatrix} I_n & B \\ A & O \end{pmatrix} \geq r(A) + r(B)$。这是因为该矩阵包含子块 $A$ 和 $B$，且 $I_n$ 满秩，但更精确地，利用分块矩阵的秩性质：$r\begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} \geq r(X) + r(Z) + r(Y) - n$ 等，但这里直接使用常见结论：$r\begin{pmatrix} I_n & B \\ A & O \end{pmatrix} \geq r(A) + r(B)$。实际上，由于 $I_n$ 可逆，该矩阵的秩至少为 $r(A)+r(B)$（例如通过行变换）。

由前两步，我们有 $n + r(AB) = r\begin{pmatrix} I_n & B \\ A & O \end{pmatrix} \geq r(A) + r(B)$，因此 $r(AB) \geq r(A) + r(B) - n$。

设 $r(A)=r$，则存在可逆矩阵 $P$（$m\times m$）和 $Q$（$n\times n$）使得 $PAQ = \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$。令 $B' = Q^{-1}B$，则 $AB = P^{-1}\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} B'$，且 $r(AB)=r\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} B'$。将 $B'$ 分块为 $\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \end{pmatrix}$，其中 $B_1$ 为 $r\times s$，$B_2$ 为 $(n-r)\times s$，则 $\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} B' = \begin{pmatrix} B_1 \\ O \end{pmatrix}$，故 $r(AB)=r(B_1)$。又 $r(B)=r(B') \leq r(B_1)+r(B_2)$，且 $r(B_2)\leq n-r$，所以 $r(B) \leq r(B_1) + (n-r)$，即 $r(B_1) \geq r(B) - (n-r) = r(A)+r(B)-n$。因此 $r(AB) \geq r(A)+r(B)-n$。