东北师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
6．（15 分）设 $f(x), g(x)$ 是多项式，且 $x^{2}+x+1$ 整除 $f\left(x^{3}\right)+x g\left(x^{3}\right)$ ．
（1）（10 分）证明：$x-1$ 整除 $f(x)$ ，且 $x-1$ 整除 $g(x)$ ．
（2）（5 分）若 $f(x)$ 是 $x-1$ 的方幂，$h(x)$ 和 $q(x)$ 是多项式，且 $f(x) \mid h(x) q(x)$ ．证明：或者 $f(x)$整除 $h(x)$ ，或者 $f(x)$ 整除 $q(x)$ 的某个方幂。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入三次单位根
令 $\omega$ 为三次单位根，即 $\omega^3 = 1$ 且 $\omega \neq 1$，则 $\omega^2 + \omega + 1 = 0$。
公式：$\omega^3=1,\ \omega^2+\omega+1=0$
提示：注意 $\omega$ 是复数，但代数推导中可视为符号。
步骤 2/7
目标：代入 $x=\omega$ 和 $x=\omega^2$
由于 $x^2+x+1 \mid f(x^3)+xg(x^3)$，代入 $x=\omega$ 得 $f(\omega^3)+\omega g(\omega^3)=f(1)+\omega g(1)=0$。代入 $x=\omega^2$ 得 $f(1)+\omega^2 g(1)=0$。
公式：$f(1)+\omega g(1)=0,\ f(1)+\omega^2 g(1)=0$
提示：注意 $\omega^3=1$，所以 $f(\omega^3)=f(1)$，$g(\omega^3)=g(1)$。
步骤 3/7
目标：解方程组得 $f(1)=g(1)=0$
两式相减得 $(\omega-\omega^2)g(1)=0$，由于 $\omega \neq \omega^2$，故 $g(1)=0$。代入第一式得 $f(1)=0$。因此 $x-1 \mid f(x)$ 且 $x-1 \mid g(x)$。
公式：$(\omega-\omega^2)g(1)=0 \Rightarrow g(1)=0$
提示：注意 $\omega-\omega^2 \neq 0$，因为 $\omega$ 不是实数。
步骤 4/7
目标：问题（2）设定条件
已知 $f(x)$ 是 $x-1$ 的方幂，即 $f(x)=(x-1)^k$，$k \geq 1$。且 $f(x) \mid h(x)q(x)$，即 $(x-1)^k \mid h(x)q(x)$。
公式：$f(x)=(x-1)^k$
提示：注意 $f(x)$ 是 $x-1$ 的方幂，不是任意多项式。
步骤 5/7
目标：分析 $h(x)$ 和 $q(x)$ 中 $x-1$ 的重数
设 $h(x)=(x-1)^a h_1(x)$，$q(x)=(x-1)^b q_1(x)$，其中 $h_1(1)\neq 0$，$q_1(1)\neq 0$。由 $(x-1)^k \mid h(x)q(x)$ 得 $a+b \geq k$。
公式：$a+b \geq k$
提示：注意 $h_1(1)\neq 0$ 表示 $h_1(x)$ 不被 $x-1$ 整除。
步骤 6/7
目标：分情况讨论
若 $a \geq k$，则 $(x-1)^k \mid h(x)$，即 $f(x) \mid h(x)$，结论成立。若 $a < k$，则 $b \geq k-a > 0$。取 $m = \lceil k/b \rceil$，则 $mb \geq k$，于是 $(x-1)^{mb} \mid q(x)^m$，故 $f(x) \mid q(x)^m$。
公式：$m = \lceil k/b \rceil$
提示：注意 $m$ 是正整数，且 $mb \geq k$ 保证整除。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，或者 $f(x) \mid h(x)$，或者 $f(x)$ 整除 $q(x)$ 的某个方幂。
提示：注意结论中 $q(x)$ 的方幂指数 $m$ 依赖于 $b$。
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