东北师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
5．（10 分）设矩阵 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，且 $A B=B A$ ，证明：$A B$ 也是正定矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明AB是对称矩阵
由于A和B都是正定矩阵，因此A和B都是对称矩阵，即$A^T=A$，$B^T=B$。又因为$AB=BA$，所以$(AB)^T = B^T A^T = BA = AB$，故AB是对称矩阵。
公式：$(AB)^T = B^T A^T$
提示：注意正定矩阵首先是对称矩阵，且交换性条件用于对称性证明。
步骤 2/7
目标：利用A的正定性进行分解
因为A正定，存在可逆矩阵P使得$A = P^T P$。将A的分解代入交换性条件$AB=BA$，得$P^T P B = B P^T P$。
公式：$A = P^T P$
提示：正定矩阵的Cholesky分解或合同分解，P可逆。
步骤 3/7
目标：构造与B相似的对称矩阵C
左乘$(P^T)^{-1}$，右乘$P^{-1}$，得$P B P^{-1} = (P^T)^{-1} B P^T$。令$C = P B P^{-1}$，则C与B相似，且$C^T = (P^{-1})^T B^T P^T = (P^T)^{-1} B P^T = C$，故C是对称矩阵。
公式：$C = P B P^{-1}$
提示：注意$(P^T)^{-1} = (P^{-1})^T$，确保C对称。
步骤 4/7
目标：将C正交对角化
由于C是对称矩阵，存在正交矩阵Q使得$Q^T C Q = \Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵，对角线元素是C的特征值，也是B的特征值（因为相似）。B正定，故特征值全为正数，所以$\Lambda$的对角线元素全为正。
公式：$Q^T C Q = \Lambda$
提示：正交对角化要求C对称，且特征值正数来自B正定。
步骤 5/7
目标：构造同时对角化A和B的可逆矩阵R
令$R = P^{-1} Q$，则R可逆。计算$R^T A R = (P^{-1} Q)^T P^T P (P^{-1} Q) = Q^T (P^{-1})^T P^T P P^{-1} Q = Q^T Q = I$。再计算$R^T B R = (P^{-1} Q)^T B (P^{-1} Q) = Q^T (P^{-1})^T B P^{-1} Q = Q^T (P^T)^{-1} B P^{-1} Q = Q^T C Q = \Lambda$。
公式：$R^T A R = I$, $R^T B R = \Lambda$
提示：注意$(P^{-1})^T = (P^T)^{-1}$，且$C = P B P^{-1}$。
步骤 6/7
目标：证明AB的特征值全为正
计算$R^T (AB) R = (R^T A R)(R^T B R) = I \cdot \Lambda = \Lambda$，即AB相似于正对角矩阵$\Lambda$，因此AB的特征值就是$\Lambda$的对角线元素，全为正数。
公式：$R^T (AB) R = \Lambda$
提示：相似矩阵有相同特征值，注意$R^T A R$和$R^T B R$的乘积顺序。
步骤 7/7
目标：得出结论
AB是对称矩阵，且所有特征值均为正数，根据正定矩阵的定义，AB是正定矩阵。
提示：正定矩阵的等价定义：对称且特征值全正。
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