东北师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
9．（15 分）已知空间中的两条异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离是 $4, l_{1}$ 与 $l_{2}$ 所成角是 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ，建立空间直角坐标系，求直线 $l_{1}$ 绕 $l_{2}$ 旋转一周所成的曲面的方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立坐标系
设 $l_2$ 为 $z$ 轴，$l_1$ 与 $l_2$ 的公垂线为 $x$ 轴，公垂足分别为 $O$ 和 $A$，则 $OA=4$。
提示：注意公垂线方向的选择，确保坐标系右手定则。
步骤 2/5
目标：确定 $l_1$ 的方向向量和参数方程
由于 $l_1$ 与 $l_2$ 所成角为 $\frac{\pi}{3}$，且 $l_2$ 为 $z$ 轴，故 $l_1$ 的方向向量可取为 $(0, \sin\frac{\pi}{3}, \cos\frac{\pi}{3}) = (0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$。$l_1$ 过点 $A(4,0,0)$，所以 $l_1$ 的参数方程为：
\[
\begin{cases}
x = 4, \\
y = \frac{\sqrt{3}}{2} t, \\
z = \frac{1}{2} t,
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}.
\]
公式：方向向量 $(0, \sin\theta, \cos\theta)$
提示：注意所成角是 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角，方向向量与 $z$ 轴夹角为 $\frac{\pi}{3}$，因此 $z$ 分量为 $\cos\frac{\pi}{3}$。
步骤 3/5
目标：旋转曲面上的点与母线上点的关系
设 $M(x,y,z)$ 为曲面上任意一点，它由 $l_1$ 上点 $M_0(4, \frac{\sqrt{3}}{2}t, \frac{1}{2}t)$ 绕 $z$ 轴旋转得到。旋转时，$M$ 到 $z$ 轴的距离等于 $M_0$ 到 $z$ 轴的距离，且 $z$ 坐标相同。即
\[
\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{4^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{3}{4}t^2},
\]
且 $z = \frac{1}{2}t$。
公式：旋转曲面性质：到旋转轴距离不变，高度相同
提示：注意 $M_0$ 到 $z$ 轴距离是 $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$，其中 $x_0=4, y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}t$。
步骤 4/5
目标：消去参数 $t$
由 $z = \frac{1}{2}t$ 得 $t = 2z$，代入距离等式：
\[
\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{16 + \frac{3}{4}(2z)^2} = \sqrt{16 + 3z^2}.
\]
提示：代入时注意平方运算，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：得到曲面方程
两边平方得
\[
x^2 + y^2 = 16 + 3z^2,
\]
即
\[
x^2 + y^2 - 3z^2 = 16.
\]
提示：平方时注意两边非负，此处显然成立。最终方程为单叶双曲面。
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