东北师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
10．（20分）空间直角坐标系下，已知两相交平面方程分别为
$$
\pi_{1}: x-2 y-2 z-3=0, \quad \pi_{2}: 6 x+3 y-2 z-4=0 .
$$
（1）（10 分）求 $\pi_{1}$ 与 $\pi_{2}$ 所成的二面角的角平分面方程。
（2）（10 分）说明上述哪一个角平分面是位于坐标原点所在的二面角的角平分面．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：提取两平面法向量
由平面方程 $\pi_1: x-2y-2z-3=0$ 得法向量 $\vec{n}_1=(1,-2,-2)$；由 $\pi_2: 6x+3y-2z-4=0$ 得法向量 $\vec{n}_2=(6,3,-2)$。
提示：注意平面方程的一般形式为 $Ax+By+Cz+D=0$，法向量为 $(A,B,C)$。
步骤 2/7
目标：写出点到平面距离公式
点 $P(x,y,z)$ 到平面 $\pi_1$ 的距离为 $d_1=\frac{|x-2y-2z-3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}$，到平面 $\pi_2$ 的距离为 $d_2=\frac{|6x+3y-2z-4|}{\sqrt{6^2+3^2+(-2)^2}}$。
公式：点到平面距离公式：$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
提示：注意分子要加绝对值，分母是法向量的模长。
步骤 3/7
目标：计算分母并令距离相等
计算分母：$\sqrt{1+4+4}=3$，$\sqrt{36+9+4}=7$。角平分面上的点满足 $d_1=d_2$，即 $\frac{|x-2y-2z-3|}{3}=\frac{|6x+3y-2z-4|}{7}$。
提示：分母计算要准确，注意平方和。
步骤 4/7
目标：去掉绝对值得到两个方程
去掉绝对值符号，得到两个方程：$\frac{x-2y-2z-3}{3}=\pm\frac{6x+3y-2z-4}{7}$。
提示：绝对值方程 $|A|=|B|$ 等价于 $A=\pm B$，不要遗漏负号情况。
步骤 5/7
目标：求解正号情况下的角平分面方程
取正号：$7(x-2y-2z-3)=3(6x+3y-2z-4)$，展开得 $7x-14y-14z-21=18x+9y-6z-12$，移项合并得 $11x+23y+8z+9=0$。
提示：移项时注意符号变化，合并同类项要仔细。
步骤 6/7
目标：求解负号情况下的角平分面方程
取负号：$7(x-2y-2z-3)=-3(6x+3y-2z-4)$，展开得 $7x-14y-14z-21=-18x-9y+6z+12$，移项合并得 $25x-5y-20z-33=0$。
提示：负号分配时注意每一项的符号。
步骤 7/7
目标：判断原点所在二面角的角平分面
将原点 $(0,0,0)$ 代入 $\pi_1$ 得 $-3<0$，代入 $\pi_2$ 得 $-4<0$，原点在两平面同侧（负侧）。将原点代入两个角平分面：$11x+23y+8z+9=0$ 得 $9>0$，$25x-5y-20z-33=0$ 得 $-33<0$。与 $\pi_1,\pi_2$ 同号的是 $25x-5y-20z-33=0$，故该平面为原点所在二面角的角平分面。
提示：原点所在二面角是指包含原点的那个二面角，角平分面应使原点与两平面同侧。
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