东北师范大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．（20 分）矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle A^{2026}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察矩阵结构，计算A的平方
计算 $A^2$：
$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 4I$
公式：$A^2 = 4I$
提示：注意矩阵乘法要逐行逐列计算，避免计算错误。
步骤 2/6
目标：推导特征值
由 $A^2 = 4I$ 可知，对于任意特征值 $\lambda$ 满足 $\lambda^2 = 4$，所以 $\lambda = \pm 2$。又因为 $A$ 的迹为 $1-1+1-1=0$，而特征值之和等于迹，所以 $2$ 和 $-2$ 各出现两次。
公式：$\lambda^2 = 4$，$\text{tr}(A) = \sum \lambda_i$
提示：注意迹的计算：对角线元素之和。
步骤 3/6
目标：利用A^2=4I简化高次幂
由于 $A^2 = 4I$，则对于任意正整数 $k$，有 $A^{2k} = (A^2)^k = (4I)^k = 4^k I$，$A^{2k+1} = A \cdot A^{2k} = A \cdot 4^k I = 4^k A$。
公式：$A^{2k} = 4^k I$，$A^{2k+1} = 4^k A$
提示：注意指数运算规则，不要混淆。
步骤 4/6
目标：判断2026的奇偶性
2026是偶数，因为 $2026 \div 2 = 1013$，所以 $2026 = 2 \times 1013$。
提示：简单判断即可。
步骤 5/6
目标：代入公式计算A^{2026}
令 $k = 1013$，则 $A^{2026} = A^{2 \times 1013} = 4^{1013} I$。
公式：$A^{2026} = 4^{1013} I$
提示：注意 $4^{1013}$ 是一个很大的数，但题目只要求表达式。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
因此，$A^{2026} = 4^{1013} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：结果是一个数量矩阵，不要忘记单位矩阵。
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