📝 东北师范大学 2026年高等代数真题

1．（20 分）矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle A^{2026}$ ．

2．（10分）求同余方程组

$$
\begin{cases}x \equiv 1 & (\bmod 4) \\ x \equiv-3 & (\bmod 7) \\ x \equiv 2 & (\bmod 15)\end{cases}
$$

3．（15 分）已知 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵，$B$ 是 $\displaystyle n \times m$ 阶矩阵。证明：

$$
\left|\begin{array}{cc}
E_{n} & B \\
A & E_{m}
\end{array}\right|=\left|E_{m}-A B\right|=\left|E_{n}-B A\right| .
$$

4．（15 分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，证明：

$$
(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{n}\left(\alpha, \varepsilon_{i}\right)\left(\beta, \varepsilon_{i}\right) .
$$

5．（20 分）对于有限维线性空间 $\displaystyle V, \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换，证明：存在 $V$ 上的两个线性变换 $\displaystyle \mathscr{D}, \mathscr{N}$ ，满足
（1） $\displaystyle \mathscr{D}$ 可对角化．
（2） $\displaystyle \mathscr{N}$ 为幂零变换．
（3） $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{D}+\mathscr{N}, \mathscr{D} \mathscr{N}=\mathscr{N} \mathscr{D}$ ．

6．（20 分）设 $\displaystyle \varphi, \theta$ 是线性空间 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle f(x), g(x)$ 分别为 $\displaystyle \varphi, \theta$ 的特征多项式．
（1）若 $\displaystyle h(x)$ 是一个多项式，$a$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，证明：$\displaystyle h(a)$ 是 $\displaystyle h(\varphi)$ 的一个特征值．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 互素，证明：$\displaystyle f(\theta)$ 和 $\displaystyle g(\varphi)$ 都是可逆的线性变换．

7．（15 分）已知空间曲线 $L$ 的参数方程为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t)\end{array}\right.$ ，在空间直角坐标系下，将曲线 $L$ 绕 $y$ 轴旋转，求旋转曲面方程．

8．（15 分）已知直线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x-y+z-1=0, \\ 2 x-y+z-2=0 .\end{array}\right.$ 平面 $\displaystyle \Pi: x+y+z-2=0$ ．
（1）求直线 $L$ 与平面 $\displaystyle \Pi$ 夹角的正弦值．
（2）求直线 $L$ 在平面 $\displaystyle \Pi$ 上的射影直线方程．

9．（20分）已知直线

$$
L_{1}:\left\{\begin{array}{l}
x-2 y-2=0, \\
y-z+2=0 .
\end{array} \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l}
x-2 y-2=0 \\
x-z+1=0
\end{array}\right.\right.
$$

平面 $\displaystyle \Pi: x-y+2=0$ ．求与直线 $\displaystyle L_{1}, L_{2}$ 都相交且与平面 $\displaystyle \Pi$ 垂直的直线的轨迹方程．