东北师范大学 2026年高等代数第8题

直线L由两个平面方程给出，其方向向量s为两平面法向量的叉积。两平面法向量分别为n1=(1,-1,1)，n2=(2,-1,1)。计算叉积： \[\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (0, 1, 1).\]

直线与平面夹角θ的正弦值为方向向量s与平面法向量n夹角的余弦绝对值，即\sin\theta = \frac{|\mathbf{s} \cdot \mathbf{n}|}{\|\mathbf{s}\| \|\mathbf{n}\|}。平面Π的法向量n=(1,1,1)。计算点积：\mathbf{s} \cdot \mathbf{n}=0*1+1*1+1*1=2。模长：\|\mathbf{s}\|=\sqrt{2}，\|\mathbf{n}\|=\sqrt{3}。所以\sin\theta = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}。

在直线L上取一点，令x=1，代入方程组： \[\begin{cases} 1 - y + z - 1 = 0 \Rightarrow -y+z=0, \\ 2 - y + z - 2 = 0 \Rightarrow -y+z=0 \end{cases}\] 解得y=z。取y=0，则z=0，得点P0=(1,0,0)。

过P0且垂直于平面Π的直线方向为法向量n=(1,1,1)，参数方程： \[\begin{cases} x=1+t, \\ y=t, \\ z=t \end{cases}\] 代入平面方程x+y+z-2=0： \( (1+t)+t+t-2=0 \Rightarrow 3t-1=0 \Rightarrow t=\frac{1}{3} \)。 得投影点Q=\(\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\)。

方向向量s=(0,1,1)在平面Π上的投影方向s'等于s减去其在法向量n上的投影： \[\mathbf{s}' = \mathbf{s} - \frac{\mathbf{s} \cdot \mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|^2} \mathbf{n} = (0,1,1) - \frac{2}{3}(1,1,1) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right).\] 取方向向量为(-2,1,1)（乘以3）。

射影直线过点Q\(\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\)，方向为(-2,1,1)，对称式方程为： \[\frac{x - \frac{4}{3}}{-2} = \frac{y - \frac{1}{3}}{1} = \frac{z - \frac{1}{3}}{1}.\]