东北师范大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．（15 分）已知空间曲线 $L$ 的参数方程为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t)\end{array}\right.$ ，在空间直角坐标系下，将曲线 $L$ 绕 $y$ 轴旋转，求旋转曲面方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解旋转曲面的生成原理
曲线 $L$ 上任意一点 $P(f(t), g(t), h(t))$ 绕 $y$ 轴旋转一周，形成一个圆。该圆位于垂直于 $y$ 轴的平面内，圆心为 $(0, g(t), 0)$，半径为 $\sqrt{[f(t)]^2 + [h(t)]^2}$。
提示：注意旋转轴是 $y$ 轴，因此 $y$ 坐标保持不变，而 $x$ 和 $z$ 坐标满足圆的方程。
步骤 2/6
目标：写出旋转曲面上任意点的坐标关系
设旋转曲面上任意一点为 $(x, y, z)$，则它由参数 $t$ 和旋转角 $\theta$ 决定：$y = g(t)$，且 $x^2 + z^2 = [f(t)]^2 + [h(t)]^2$。这是因为该点到 $y$ 轴的距离等于原点到 $y$ 轴的距离。
公式：$x^2 + z^2 = [f(t)]^2 + [h(t)]^2$
提示：距离公式：点 $(x,y,z)$ 到 $y$ 轴的距离为 $\sqrt{x^2+z^2}$。
步骤 3/6
目标：建立旋转曲面的参数方程
引入参数 $\theta$ 表示旋转角度，则旋转曲面的参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = \sqrt{[f(t)]^2 + [h(t)]^2} \cos \theta \\
y = g(t) \\
z = \sqrt{[f(t)]^2 + [h(t)]^2} \sin \theta
\end{cases}
$$
其中 $t \in [a,b]$，$\theta \in [0,2\pi)$。
公式：参数方程
提示：注意 $\theta$ 的取值范围，通常取 $[0,2\pi)$ 或 $[0,2\pi]$。
步骤 4/6
目标：消去参数 $\theta$ 得到关于 $t$ 的方程
由参数方程可得 $x^2+z^2 = [f(t)]^2 + [h(t)]^2$，且 $y = g(t)$。因此，旋转曲面可用 $t$ 表示为：
$$
\begin{cases}
x^2 + z^2 = [f(t)]^2 + [h(t)]^2 \\
y = g(t)
\end{cases}
$$
这给出了旋转曲面的一个参数表示（以 $t$ 为参数）。
公式：$x^2+z^2 = [f(t)]^2 + [h(t)]^2$
提示：这里 $t$ 是原曲线的参数，不是旋转曲面的独立参数，实际上旋转曲面有两个自由度。
步骤 5/6
目标：消去参数 $t$ 得到一般方程
如果函数 $g$ 可逆，即 $t = g^{-1}(y)$，则代入得 $x^2+z^2 = [f(g^{-1}(y))]^2 + [h(g^{-1}(y))]^2$。一般地，旋转曲面方程为 $x^2+z^2 = [f(t)]^2 + [h(t)]^2$，其中 $t$ 满足 $y = g(t)$。
公式：$x^2+z^2 = [f(g^{-1}(y))]^2 + [h(g^{-1}(y))]^2$
提示：注意 $g$ 不一定可逆，此时方程以参数形式给出，或需分段处理。
步骤 6/6
目标：总结最终结果
旋转曲面方程为 $x^2+z^2 = [f(t)]^2 + [h(t)]^2$，$y = g(t)$，其中 $t$ 为参数。消去 $t$ 后可得 $x^2+z^2 = [f(y)]^2 + [h(y)]^2$（若 $g$ 可逆）。
提示：最终方程中 $y$ 的取值范围由原曲线 $L$ 的 $y$ 坐标决定。
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