东北师范大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．（20 分）设 $\displaystyle \varphi, \theta$ 是线性空间 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle f(x), g(x)$ 分别为 $\displaystyle \varphi, \theta$ 的特征多项式．
（1）若 $\displaystyle h(x)$ 是一个多项式，$a$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，证明：$\displaystyle h(a)$ 是 $\displaystyle h(\varphi)$ 的一个特征值．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 互素，证明：$\displaystyle f(\theta)$ 和 $\displaystyle g(\varphi)$ 都是可逆的线性变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明特征值映射性质
设 $a$ 是 $\varphi$ 的一个特征值，则存在非零向量 $\xi \in V$，使得 $\varphi(\xi) = a\xi$。
公式：$\varphi(\xi) = a\xi$
提示：注意特征向量非零。
步骤 2/8
目标：展开多项式线性变换
设 $h(x) = \sum_{i=0}^n c_i x^i$，则 $h(\varphi) = \sum_{i=0}^n c_i \varphi^i$。
公式：$h(\varphi) = \sum_{i=0}^n c_i \varphi^i$
提示：多项式线性变换的定义。
步骤 3/8
目标：计算作用在特征向量上
计算 $h(\varphi)(\xi) = \sum_{i=0}^n c_i \varphi^i(\xi) = \sum_{i=0}^n c_i a^i \xi = h(a)\xi$。
公式：$h(\varphi)(\xi) = h(a)\xi$
提示：利用 $\varphi^i(\xi)=a^i\xi$。
步骤 4/8
目标：得出结论
因此，$h(a)$ 是 $h(\varphi)$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $\xi$。
提示：特征值定义：存在非零向量使得变换等于数乘。
步骤 5/8
目标：利用互素多项式性质
由于 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。
公式：$u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$
提示：互素多项式的Bezout等式。
步骤 6/8
目标：代入线性变换得到恒等变换
将 $x = \theta$ 代入得：$u(\theta)f(\theta) + v(\theta)g(\theta) = I$，其中 $I$ 是恒等变换。
公式：$u(\theta)f(\theta) + v(\theta)g(\theta) = I$
提示：注意多项式代入线性变换时保持运算。
步骤 7/8
目标：证明 $f(\theta)$ 可逆
若 $f(\theta)(\xi) = 0$，则 $\xi = I(\xi) = u(\theta)f(\theta)(\xi) + v(\theta)g(\theta)(\xi) = 0$，故 $f(\theta)$ 是单射。由于 $V$ 是有限维线性空间，单射等价于可逆，所以 $f(\theta)$ 可逆。
提示：有限维线性空间中单射、满射、可逆等价。
步骤 8/8
目标：证明 $g(\varphi)$ 可逆
将 $x = \varphi$ 代入得：$u(\varphi)f(\varphi) + v(\varphi)g(\varphi) = I$。由哈密顿-凯莱定理，$f(\varphi)=0$，所以 $v(\varphi)g(\varphi) = I$，故 $g(\varphi)$ 可逆。
公式：$v(\varphi)g(\varphi) = I$
提示：哈密顿-凯莱定理：特征多项式零化线性变换。
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