东北师范大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．（10分）求同余方程组
$$
\begin{cases}x \equiv 1 & (\bmod 4) \\ x \equiv-3 & (\bmod 7) \\ x \equiv 2 & (\bmod 15)\end{cases}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：改写同余方程组为标准形式
将第二个同余式 $x \equiv -3 \pmod{7}$ 改写为 $x \equiv 4 \pmod{7}$，因为 $-3 \equiv 4 \pmod{7}$。得到标准形式：
$$
\begin{cases}
x \equiv 1 \pmod{4} \\
x \equiv 4 \pmod{7} \\
x \equiv 2 \pmod{15}
\end{cases}
$$
提示：注意负数的模运算，将负数转化为正余数。
步骤 2/6
目标：验证模数两两互素
计算模数4、7、15的最大公因数：
- $\gcd(4,7)=1$
- $\gcd(4,15)=1$
- $\gcd(7,15)=1$
因此三个模数两两互素，满足中国剩余定理的条件。
公式：若 $\gcd(m_i,m_j)=1$ 对 $i\neq j$，则中国剩余定理适用。
提示：检查模数是否互素，若不互素则需先分解或调整。
步骤 3/6
目标：计算总模数M和各个Mi
总模数 $M = 4 \times 7 \times 15 = 420$。
计算：
- $M_1 = M/4 = 105$
- $M_2 = M/7 = 60$
- $M_3 = M/15 = 28$
公式：$M = \prod m_i$，$M_i = M/m_i$
提示：确保计算正确，避免乘法错误。
步骤 4/6
目标：求解各个Mi的逆元yi
求 $y_1$ 使得 $105 y_1 \equiv 1 \pmod{4}$。由于 $105 \equiv 1 \pmod{4}$，所以 $y_1 \equiv 1 \pmod{4}$，取 $y_1=1$。
求 $y_2$ 使得 $60 y_2 \equiv 1 \pmod{7}$。$60 \equiv 4 \pmod{7}$，解 $4y_2 \equiv 1 \pmod{7}$，得 $y_2 \equiv 2 \pmod{7}$（因为 $4\times2=8\equiv1$），取 $y_2=2$。
求 $y_3$ 使得 $28 y_3 \equiv 1 \pmod{15}$。$28 \equiv 13 \pmod{15}$，解 $13y_3 \equiv 1 \pmod{15}$，得 $y_3 \equiv 7 \pmod{15}$（因为 $13\times7=91\equiv1$），取 $y_3=7$。
公式：解 $M_i y_i \equiv 1 \pmod{m_i}$ 得到 $y_i$
提示：求逆元时，可用扩展欧几里得算法或试乘法。注意模运算的正确性。
步骤 5/6
目标：构造解并求和
根据中国剩余定理，解为：
$$
x \equiv \sum_{i=1}^3 a_i M_i y_i \pmod{M}
$$
其中 $a_1=1, a_2=4, a_3=2$。
计算各项：
- $a_1 M_1 y_1 = 1 \times 105 \times 1 = 105$
- $a_2 M_2 y_2 = 4 \times 60 \times 2 = 480$
- $a_3 M_3 y_3 = 2 \times 28 \times 7 = 392$
总和：$105 + 480 + 392 = 977$。
公式：$x \equiv \sum a_i M_i y_i \pmod{M}$
提示：注意各项相乘的顺序，不要遗漏系数。
步骤 6/6
目标：化简得到最小正整数解
将总和模420化简：
$977 \div 420 = 2$ 余 $977 - 2\times420 = 977 - 840 = 137$。
因此解为 $x \equiv 137 \pmod{420}$。
提示：确保余数在0到M-1之间。
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