东北师范大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．（15 分）已知 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵，$B$ 是 $\displaystyle n \times m$ 阶矩阵。证明：
$$
\left|\begin{array}{cc}
E_{n} & B \\
A & E_{m}
\end{array}\right|=\left|E_{m}-A B\right|=\left|E_{n}-B A\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用分块矩阵的行列式公式
考虑分块矩阵的行列式：
\[
\begin{vmatrix}
E_n & B \\
A & E_m
\end{vmatrix}
\]
其中左上块是 $n \times n$ 单位矩阵，右下块是 $m \times m$ 单位矩阵。
提示：注意分块矩阵的维度匹配：$E_n$ 为 $n \times n$，$B$ 为 $n \times m$，$A$ 为 $m \times n$，$E_m$ 为 $m \times m$。
步骤 2/7
目标：进行行块初等变换
将第一行块左乘 $-A$ 加到第二行块上：
\[
\begin{pmatrix}
E_n & B \\
A & E_m
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2 - A R_1}
\begin{pmatrix}
E_n & B \\
0 & E_m - AB
\end{pmatrix}
\]
注意：$R_2$ 表示第二行块，$R_1$ 表示第一行块。行块变换相当于左乘初等矩阵，行列式不变。
提示：行块变换时，左乘的矩阵是 $\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -A & I_m \end{pmatrix}$，其行列式为1，因此变换不改变行列式。
步骤 3/7
目标：计算变换后的行列式
变换后的矩阵是上三角块矩阵，其行列式等于对角块行列式的乘积：
\[
\begin{vmatrix}
E_n & B \\
0 & E_m - AB
\end{vmatrix}
= |E_n| \cdot |E_m - AB| = 1 \cdot |E_m - AB| = |E_m - AB|.
\]
因此，
\[
\begin{vmatrix}
E_n & B \\
A & E_m
\end{vmatrix} = |E_m - AB|.
\]
公式：上三角块矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积
提示：注意 $|E_n|=1$，不要遗漏。
步骤 4/7
目标：进行列块初等变换
将第一列块右乘 $-B$ 加到第二列块上：
\[
\begin{pmatrix}
E_n & B \\
A & E_m
\end{pmatrix}
\xrightarrow{C_2 - C_1 B}
\begin{pmatrix}
E_n & 0 \\
A & E_m - AB
\end{pmatrix}
\]
注意：$C_2$ 表示第二列块，$C_1$ 表示第一列块。列变换也不改变行列式。
提示：列块变换时，右乘的矩阵是 $\begin{pmatrix} I_n & -B \\ 0 & I_m \end{pmatrix}$，其行列式为1。
步骤 5/7
目标：计算变换后的行列式
变换后得到下三角块矩阵，其行列式为：
\[
\begin{vmatrix}
E_n & 0 \\
A & E_m - AB
\end{vmatrix}
= |E_n| \cdot |E_m - AB| = |E_m - AB|.
\]
因此，再次得到 $\begin{vmatrix} E_n & B \\ A & E_m \end{vmatrix} = |E_m - AB|$。
公式：下三角块矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积
提示：注意下三角块矩阵的行列式也是对角块乘积。
步骤 6/7
目标：证明 $|E_m - AB| = |E_n - BA|$
利用恒等式 $|I_m - AB| = |I_n - BA|$。一种证明方法是考虑分块矩阵的另一种变换：
\[
\begin{vmatrix}
E_n & B \\
A & E_m
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
E_n & B \\
A & E_m
\end{vmatrix}
\xrightarrow{R_1 - B R_2}
\begin{vmatrix}
E_n - BA & 0 \\
A & E_m
\end{vmatrix}
= |E_n - BA|.
\]
因此，$|E_m - AB| = |E_n - BA|$。
公式：Sylvester行列式定理：$|I_m - AB| = |I_n - BA|$
提示：注意变换顺序：先进行行块变换 $R_1 - B R_2$，得到上三角块矩阵，再取行列式。
步骤 7/7
目标：总结结论
综合以上步骤，得到：
\[
\boxed{\begin{vmatrix}
E_n & B \\
A & E_m
\end{vmatrix} = |E_m - AB| = |E_n - BA|}
\]
提示：注意等式两边的矩阵维度不同：$E_m - AB$ 是 $m \times m$，$E_n - BA$ 是 $n \times n$。
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