东北师范大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．（15 分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，证明：
$$
(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{n}\left(\alpha, \varepsilon_{i}\right)\left(\beta, \varepsilon_{i}\right) .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将向量用基表示
设 $\alpha = \sum_{i=1}^n a_i \varepsilon_i$，$\beta = \sum_{j=1}^n b_j \varepsilon_j$，其中 $a_i = (\alpha, \varepsilon_i)$，$b_j = (\beta, \varepsilon_j)$。这是因为在标准正交基下，坐标就是内积。
公式：$\alpha = \sum_{i=1}^n (\alpha, \varepsilon_i) \varepsilon_i$
提示：注意：标准正交基下，向量的坐标等于其与基向量的内积。
步骤 2/5
目标：计算内积
计算 $(\alpha, \beta) = \left( \sum_{i=1}^n a_i \varepsilon_i, \sum_{j=1}^n b_j \varepsilon_j \right)$。利用内积的双线性性，展开为 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j (\varepsilon_i, \varepsilon_j)$。
公式：$(\sum_i a_i \varepsilon_i, \sum_j b_j \varepsilon_j) = \sum_i \sum_j a_i b_j (\varepsilon_i, \varepsilon_j)$
提示：内积的双线性性：对第一个变量线性，对第二个变量线性。
步骤 3/5
目标：利用正交性化简
由于 $\{\varepsilon_i\}$ 是标准正交基，有 $(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \delta_{ij}$，其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克函数（当 $i=j$ 时为1，否则为0）。代入得 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j \delta_{ij} = \sum_{i=1}^n a_i b_i$。
公式：$(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \delta_{ij}$
提示：注意：标准正交基满足正交性和单位长度，即内积为0或1。
步骤 4/5
目标：代回坐标表达式
将 $a_i = (\alpha, \varepsilon_i)$，$b_i = (\beta, \varepsilon_i)$ 代入，得到 $(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^n (\alpha, \varepsilon_i)(\beta, \varepsilon_i)$。
提示：注意：下标一致，不要混淆。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，对于任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^n (\alpha, \varepsilon_i)(\beta, \varepsilon_i)$。证毕。
提示：该公式表明内积可以用在标准正交基下的坐标乘积之和表示。
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