东北师范大学 2026年高等代数第9题
📝 题目
9．（20分）已知直线
$$
L_{1}:\left\{\begin{array}{l}
x-2 y-2=0, \\
y-z+2=0 .
\end{array} \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l}
x-2 y-2=0 \\
x-z+1=0
\end{array}\right.\right.
$$
平面 $\displaystyle \Pi: x-y+2=0$ ．求与直线 $\displaystyle L_{1}, L_{2}$ 都相交且与平面 $\displaystyle \Pi$ 垂直的直线的轨迹方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定所求直线的方向向量
所求直线 $L$ 与平面 $\Pi: x-y+2=0$ 垂直，故 $L$ 的方向向量 $\mathbf{s}$ 平行于平面 $\Pi$ 的法向量 $\mathbf{n}=(1,-1,0)$。取 $\mathbf{s}=(1,-1,0)$。
公式：$\mathbf{s} \parallel \mathbf{n}=(1,-1,0)$
提示：注意平面法向量与直线方向向量的关系：直线与平面垂直时，方向向量平行于法向量。
步骤 2/7
目标：写出直线 $L_1$ 的参数方程
由 $L_1: \begin{cases} x-2y-2=0 \\ y-z+2=0 \end{cases}$，令 $y=t$，解得 $x=2t+2$，$z=t+2$。故 $L_1$ 的参数方程为 $P_1(t)=(2t+2,\, t,\, t+2)$。
提示：参数化时，选择自由变量要方便后续计算。
步骤 3/7
目标：写出直线 $L_2$ 的参数方程
由 $L_2: \begin{cases} x-2y-2=0 \\ x-z+1=0 \end{cases}$，令 $y=s$，解得 $x=2s+2$，$z=x+1=2s+3$。故 $L_2$ 的参数方程为 $P_2(s)=(2s+2,\, s,\, 2s+3)$。
提示：注意 $L_2$ 的第二个方程是 $x-z+1=0$，代入 $x$ 表达式得 $z$。
步骤 4/7
目标：利用共线条件建立方程
设 $L$ 与 $L_1$ 交于 $P_1$，与 $L_2$ 交于 $P_2$，则 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 与 $\mathbf{s}=(1,-1,0)$ 共线。计算 $\overrightarrow{P_1P_2}=(2(s-t),\, s-t,\, 2s-t+1)$。由共线得 $\frac{2(s-t)}{1}=\frac{s-t}{-1}=\frac{2s-t+1}{0}$。
公式：$\overrightarrow{P_1P_2} \parallel \mathbf{s}$
提示：分母为零时，分子必须为零，否则无解。
步骤 5/7
目标：解出参数 $t$ 和 $s$
由 $\frac{2(s-t)}{1}=\frac{s-t}{-1}$ 得 $2(s-t)=-(s-t)$，即 $3(s-t)=0$，故 $s=t$。由 $\frac{2s-t+1}{0}$ 要求分子为零：$2s-t+1=0$，代入 $s=t$ 得 $2t-t+1=0$，解得 $t=-1$，从而 $s=-1$。
提示：注意比例式分母为零时，分子必须为零，这是关键条件。
步骤 6/7
目标：确定交点坐标
将 $t=-1$ 代入 $P_1$ 得 $P_1=(0,-1,1)$；将 $s=-1$ 代入 $P_2$ 得 $P_2=(0,-1,1)$。两点重合，说明 $L_1$ 与 $L_2$ 相交于点 $(0,-1,1)$。
提示：计算时要仔细，避免代数错误。
步骤 7/7
目标：写出所求直线的方程
所求直线 $L$ 过点 $(0,-1,1)$ 且方向为 $(1,-1,0)$，故方程为 $\frac{x-0}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{0}$，即 $\begin{cases} x+y+1=0 \\ z=1 \end{cases}$。
公式：直线的对称式方程
提示：方向向量中 $z$ 分量为 $0$，故 $z$ 为常数。
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