东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．（12 分）若 $\mathscr{A}_{1}+\mathscr{A}_{2}+\cdots+\mathscr{A}_{s}=\mathscr{E}, r\left(\mathscr{A}_{1}\right)+r\left(\mathscr{A}_{2}\right)+\cdots+r\left(\mathscr{A}_{s}\right)=n$ ，其中 $r\left(\mathscr{A}_{i}\right)$ 表示 $\mathscr{A}_{i}$ 的矩阵的秩，证明： $\mathscr{A}_{i}$ 都是幂等变换，且 $\mathscr{A}_{i} \mathscr{A}_{j}=\mathscr{O}(1 \leq i \neq j \leq s)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将线性变换转化为矩阵表示
设 $\mathscr{A}_i$ 在标准基下的矩阵为 $A_i$，则 $A_1+A_2+\cdots+A_s=E$，且 $\sum_{i=1}^s r(A_i)=n$。
提示：注意矩阵加法与变换加法对应，秩相同。
步骤 2/6
目标：利用秩不等式推导等号成立条件
由于 $r(A_1+\cdots+A_s)=r(E)=n$，而 $r(A_1+\cdots+A_s)\leq \sum_{i=1}^s r(A_i)$，结合已知 $\sum r(A_i)=n$，得 $r(A_1+\cdots+A_s)=\sum r(A_i)$。
公式：$r(X+Y)\leq r(X)+r(Y)$，等号成立当且仅当 $X$ 与 $Y$ 的列空间正交且行空间正交。
提示：注意秩不等式等号成立的条件是列空间和行空间分别直和。
步骤 3/6
目标：推导列空间和行空间的正交性
由 $r(\sum A_i)=\sum r(A_i)$ 可知，所有 $A_i$ 的列空间两两正交，行空间也两两正交。特别地，对任意 $i\neq j$，$A_i$ 的列空间与 $A_j$ 的列空间正交，且 $A_i$ 的行空间与 $A_j$ 的行空间正交。
提示：注意正交是指内积为零，但这里指子空间直和，即交为零。
步骤 4/6
目标：证明 $A_iA_j=0$ 对 $i\neq j$
由列空间正交性，$A_iA_j$ 的列空间包含于 $A_i$ 的列空间，同时 $A_iA_j$ 的列空间也包含于 $A_j$ 的列空间（因为 $A_iA_j$ 的列是 $A_i$ 作用在 $A_j$ 的列上，而 $A_j$ 的列空间在 $A_i$ 作用下映射到 $A_i$ 的列空间，但 $A_i$ 的列空间与 $A_j$ 的列空间正交，故只能为零）。更严格地，由 $r(A_i+A_j)=r(A_i)+r(A_j)$ 可推出 $A_iA_j=0$ 且 $A_jA_i=0$。
提示：注意 $A_iA_j=0$ 的推导需要利用列空间正交性，也可用秩等式直接得到。
步骤 5/6
目标：证明 $A_i$ 是幂等矩阵
由 $A_1+\cdots+A_s=E$，两边左乘 $A_i$ 得 $A_i^2+\sum_{j\neq i}A_iA_j=A_i$。由于 $A_iA_j=0$（$i\neq j$），故 $A_i^2=A_i$，即 $\mathscr{A}_i$ 是幂等变换。
公式：$A_i^2=A_i$
提示：注意左乘和右乘均可，但需确保 $A_iA_j=0$ 已证。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$\mathscr{A}_i$ 都是幂等变换，且 $\mathscr{A}_i\mathscr{A}_j=\mathscr{O}$（$i\neq j$）。
提示：注意 $\mathscr{O}$ 表示零变换。
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