📝 东华大学 2026年高等代数真题

1．（7分）给定数域 $K$ 上的对角矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{llll}
\lambda_{1} & & & \\
& \lambda_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$

其中 $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}(i \neq j)$ ，求与 $A$ 可交换的数域 $K$ 上的所有 $n$ 阶方阵。

2．（14 分）设 $A, B$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，$A B=B A$ ，证明：$A, B$ 可同时对角化．

1．（9 分）更改 $A$ 中的一个数得到矩阵 $C$ ，使得齐次线性方程组 $C X=0$ 的基础解系含有 2 个向量．

2．（6 分）求 $a, b, c$ ，使线性方程组 $A X=B$ 有解 $x_{1}=1, x_{2}=a, x_{3}=b, x_{4}=c$ ．

1．（10 分）证明：$r(A) \leq 1$ 当且仅当存在列向量 $\alpha \in K^{m}, \beta \in K^{n}$ ，使得 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ．

2．（15 分）证明：$r(A)=r$ 当且仅当存在两个线性无关的列向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$ ，使得 $A=\alpha_{1} \beta_{1}^{\mathrm{T}}+\alpha_{2} \beta_{2}^{\mathrm{T}}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{\mathrm{T}}$ 。

1．（10分）求可逆矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} B T=J$ 为 Jordan 标准形．

2．（5 分）证明：矩阵方程组 $X^{2}+E=B$ 无解，其中 $E$ 是单位矩阵．

1．（8 分）设 $M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $A, B, C, D$ 均是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，$A B=B A$ ，证明：

$$
|M|=|D A-C B| .
$$

2．（7 分）设 $A, B, C$ 都是有理数域上的 $n$ 阶方阵，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$M=\left(\begin{array}{cc}k E & A \\ B & C\end{array}\right)$ ，若对任意正整数 $k$ 有 $|M|=0$ ，证：必有 $|C|=0$ ．

1．（8 分）若 $\mathscr{A}, \mathscr{B}$ 是幕等变换，即 $\mathscr{A}^{2}=\mathscr{A}, \mathscr{B}^{2}=\mathscr{B}$ ，证明： $\mathscr{A}+\mathscr{B}$ 是幂等变换的充要条件是

$$
\mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}=\mathscr{O} .
$$

2．（12 分）若 $\mathscr{A}_{1}+\mathscr{A}_{2}+\cdots+\mathscr{A}_{s}=\mathscr{E}, r\left(\mathscr{A}_{1}\right)+r\left(\mathscr{A}_{2}\right)+\cdots+r\left(\mathscr{A}_{s}\right)=n$ ，其中 $r\left(\mathscr{A}_{i}\right)$ 表示 $\mathscr{A}_{i}$ 的矩阵的秩，证明： $\mathscr{A}_{i}$ 都是幂等变换，且 $\mathscr{A}_{i} \mathscr{A}_{j}=\mathscr{O}(1 \leq i \neq j \leq s)$ 。

1．（10 分）证明：若 $A$ 是正定矩阵，则 $f(X, Y)$ 成为 $V$ 上的内积．

2．（15 分）若 $A$ 是半正定或半负定矩阵，证明：$M=\{X \in V \mid f(X, X)=0\}$ 是 $V$ 的一个子空间，并求 $\operatorname{dim} M$ ，举例说明若 $A$ 是不定矩阵，则 $M$ 不是线性空间．