东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．（15 分）若 $A$ 是半正定或半负定矩阵，证明：$M=\{X \in V \mid f(X, X)=0\}$ 是 $V$ 的一个子空间，并求 $\operatorname{dim} M$ ，举例说明若 $A$ 是不定矩阵，则 $M$ 不是线性空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义二次型与集合M
设 $f(X,Y)=X^TAY$ 是 $V$ 上的双线性型，其中 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。定义 $M=\{X\in V\mid f(X,X)=0\}$。需要证明当 $A$ 半正定或半负定时，$M$ 是 $V$ 的子空间。
公式：f(X,Y)=X^TAY
提示：注意 $A$ 是实对称矩阵，因此 $f$ 是对称双线性型。
步骤 2/6
目标：证明M对加法封闭
任取 $X,Y\in M$，则 $f(X,X)=0$，$f(Y,Y)=0$。计算 $f(X+Y,X+Y)=f(X,X)+2f(X,Y)+f(Y,Y)=2f(X,Y)$。由于 $A$ 半正定或半负定，二次型 $f$ 满足 Cauchy-Schwarz 不等式：$|f(X,Y)|\leq \sqrt{f(X,X)f(Y,Y)}=0$，因此 $f(X,Y)=0$。于是 $f(X+Y,X+Y)=0$，即 $X+Y\in M$。
公式：f(X+Y,X+Y)=2f(X,Y)
提示：Cauchy-Schwarz 不等式成立的条件是 $A$ 半正定或半负定，注意 $f(X,Y)$ 可能为负，但绝对值不等式仍成立。
步骤 3/6
目标：证明M对数乘封闭
任取 $X\in M$ 和 $\lambda\in\mathbb{R}$，则 $f(\lambda X,\lambda X)=\lambda^2 f(X,X)=0$，因此 $\lambda X\in M$。结合加法封闭性，$M$ 是 $V$ 的子空间。
公式：f(\lambda X,\lambda X)=\lambda^2 f(X,X)
提示：数乘封闭性直接由二次型的齐次性得到，无需额外条件。
步骤 4/6
目标：求M的维数（半正定情况）
设 $A$ 半正定，秩为 $r$。存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_r,0,\dots,0)$，其中 $\lambda_i>0$。作正交变换 $Y=Q^TX$，则 $f(X,X)=Y^T\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_r,0,\dots,0)Y=\sum_{i=1}^r\lambda_i y_i^2=0$ 当且仅当 $y_1=\dots=y_r=0$。因此 $M$ 由 $y_{r+1},\dots,y_n$ 自由取值，维数为 $n-r$。
公式：Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_r,0,\dots,0)
提示：正交变换不改变维数，且 $Y$ 的坐标中前 $r$ 个为零，后 $n-r$ 个任意。
步骤 5/6
目标：求M的维数（半负定情况）
若 $A$ 半负定，则 $-A$ 半正定。注意到 $f(X,X)=0$ 等价于 $(-f)(X,X)=0$，且 $\operatorname{rank}(-A)=\operatorname{rank}A=r$。由半正定情况，$M$ 的维数为 $n-\operatorname{rank}(-A)=n-r$。因此无论半正定还是半负定，$\dim M=n-\operatorname{rank}A$。
公式：\dim M = n - \operatorname{rank}A
提示：半负定情况可通过乘以 $-1$ 转化为半正定处理。
步骤 6/6
目标：举例说明不定矩阵时M不是子空间
取 $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$，则 $f(X,X)=x_1^2-x_2^2$。令 $X=(1,1)^T$，$Y=(1,-1)^T$，则 $f(X,X)=0$，$f(Y,Y)=0$，但 $X+Y=(2,0)^T$，$f(X+Y,X+Y)=4\neq0$，故 $X+Y\notin M$，$M$ 不是子空间。
公式：f(X,X)=x_1^2-x_2^2
提示：不定矩阵时，Cauchy-Schwarz 不等式不成立，因此加法封闭性可能被破坏。
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