东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．（5 分）证明：矩阵方程组 $X^{2}+E=B$ 无解，其中 $E$ 是单位矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：假设存在解并推导必要条件
假设存在矩阵 $X$ 满足 $X^2 + E = B$，则 $X^2 = B - E$。
公式：$X^2 = B - E$
提示：注意移项时符号
步骤 2/4
目标：代入具体矩阵B
题目中未明确给出 $B$，但常见题型中 $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，代入得 $B - E = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。
公式：$B - E = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
提示：确认矩阵B的具体形式
步骤 3/4
目标：计算迹并导出矛盾
对方程两边取迹：$\operatorname{tr}(X^2) = \operatorname{tr}(B - E) = -2$。但 $\operatorname{tr}(X^2) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^2$，其中 $\lambda_i$ 是 $X$ 的特征值，由于平方非负，故 $\operatorname{tr}(X^2) \geq 0$，与 $-2 < 0$ 矛盾。
公式：$\operatorname{tr}(X^2) = \sum \lambda_i^2 \geq 0$
提示：迹的性质：$\operatorname{tr}(X^2)$ 等于特征值平方和，非负
步骤 4/4
目标：得出无解结论
因此假设不成立，原矩阵方程组 $X^2 + E = B$ 无解。
提示：注意结论的完整性
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