东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．（9 分）更改 $A$ 中的一个数得到矩阵 $C$ ，使得齐次线性方程组 $C X=0$ 的基础解系含有 2 个向量．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题目要求
题目要求更改矩阵 $A$ 中的一个数得到矩阵 $C$，使得齐次线性方程组 $CX=0$ 的基础解系含有 $2$ 个向量。已知 $A$ 是 $3\times 4$ 矩阵，且秩为 $2$。
提示：注意矩阵的维数和秩的关系。
步骤 2/8
目标：分析基础解系向量个数与秩的关系
对于齐次线性方程组 $AX=0$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，基础解系所含向量个数为 $n - \text{rank}(A)$。因此，要使 $CX=0$ 的基础解系含有 $2$ 个向量，需 $4 - \text{rank}(C) = 2$，即 $\text{rank}(C) = 2$。
公式：基础解系向量个数 = $n - \text{rank}(A)$
提示：注意 $n$ 是未知数的个数，即矩阵的列数。
步骤 3/8
目标：确定更改策略
由于原矩阵 $A$ 的秩为 $2$，更改一个数后，矩阵 $C$ 的秩可能变为 $1$、$2$ 或 $3$。要使秩仍为 $2$，需要谨慎选择更改的位置和数值。
提示：更改一个数可能改变秩，需要保持秩不变。
步骤 4/8
目标：举例说明：原矩阵 $A$ 的构造
设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，其秩为 $2$，因为前两行线性无关，第三行为零行。
提示：确保构造的矩阵秩为2。
步骤 5/8
目标：尝试更改一个数并检验效果
若将 $A$ 中第 $3$ 行第 $3$ 列的 $0$ 改为 $1$，得 $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，秩为 $3$，基础解系含 $1$ 个向量，不符合要求。
提示：更改零元素可能增加秩，需避免。
步骤 6/8
目标：正确更改：保持秩不变
将 $A$ 中第 $1$ 行第 $1$ 列的 $1$ 改为 $2$，得 $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩仍为 $2$，因为前两行仍线性无关。
提示：更改非零元素且不改变行向量组的线性相关性，可保持秩不变。
步骤 7/8
目标：验证结果
对于 $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，解 $CX=0$ 得 $x_1=0, x_2=0$，$x_3, x_4$ 自由，基础解系为 $\xi_1 = (0,0,1,0)^T, \xi_2 = (0,0,0,1)^T$，含 $2$ 个向量。
提示：验证基础解系个数是否为2。
步骤 8/8
目标：总结答案
更改 $A$ 中第 $1$ 行第 $1$ 列的数 $1$ 为 $2$，得到 $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $CX=0$ 的基础解系含有 $2$ 个向量。
提示：答案不唯一，只要保持秩为2即可。
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