东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．（8 分）设 $M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $A, B, C, D$ 均是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，$A B=B A$ ，证明：
$$
|M|=|D A-C B| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造分块初等变换矩阵
由于 $A$ 可逆，构造分块初等变换矩阵 $\begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}$，左乘 $M$ 得：
$$
\begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}.
$$
提示：注意分块矩阵乘法规则，左乘时行变换对应行操作。
步骤 2/5
目标：取行列式并利用分块三角矩阵性质
两边取行列式，左边第一个矩阵的行列式为 $|I| \cdot |I| = 1$，所以
$$
|M| = \begin{vmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{vmatrix} = |A| \cdot |D - CA^{-1}B|.
$$
公式：分块三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积
提示：分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，注意这里左下角为零块。
步骤 3/5
目标：利用交换性化简 $D - CA^{-1}B$
由 $AB = BA$ 且 $A$ 可逆，可得 $A^{-1}B = BA^{-1}$。因此
$$
D - CA^{-1}B = D - CBA^{-1}.
$$
提示：左乘 $A^{-1}$ 时注意顺序，$A^{-1}B = BA^{-1}$ 需要验证：由 $AB=BA$ 左乘 $A^{-1}$ 得 $B = A^{-1}BA$，再右乘 $A^{-1}$ 得 $BA^{-1} = A^{-1}B$。
步骤 4/5
目标：将行列式转化为 $|AD - CB|$
计算 $|A| \cdot |D - CA^{-1}B| = |A(D - CA^{-1}B)| = |AD - ACA^{-1}B|$。由于 $ACA^{-1}B = CAA^{-1}B = CB$，所以
$$
|M| = |AD - CB|.
$$
公式：行列式乘法性质：$|AB| = |A||B|$
提示：注意 $A(D - CA^{-1}B) = AD - ACA^{-1}B$，不能直接写成 $AD - CB$ 除非 $A$ 与 $C$ 可交换，但这里通过 $ACA^{-1}B = CB$ 化简。
步骤 5/5
目标：通过转置得到 $|DA - CB|$
考虑 $M$ 的转置 $M^T = \begin{pmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{pmatrix}$。由于 $A$ 可逆，$A^T$ 也可逆，且 $A^T B^T = (BA)^T = (AB)^T = B^T A^T$，所以 $A^T$ 与 $B^T$ 可交换。应用上述结果得
$$
|M^T| = |A^T D^T - C^T B^T| = |(DA - CB)^T| = |DA - CB|.
$$
而 $|M^T| = |M|$，故 $|M| = |DA - CB|$。
公式：转置不改变行列式：$|M^T| = |M|$
提示：注意转置后矩阵块的位置交换：$M^T$ 的左上角是 $A^T$，右上角是 $C^T$，左下角是 $B^T$，右下角是 $D^T$。
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