东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．（10 分）证明：若 $A$ 是正定矩阵，则 $f(X, Y)$ 成为 $V$ 上的内积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题与定义
设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$A$ 是 $n$ 阶正定矩阵。定义 $f(X,Y)=X^TAY$，其中 $X,Y\in V$（视为列向量）。需验证 $f$ 满足内积的四条公理：对称性、线性性（第一变元）、正定性。
公式：f(X,Y)=X^TAY
提示：注意正定矩阵的定义：对称且所有特征值大于0。
步骤 2/6
目标：验证对称性
计算 $f(X,Y)=X^TAY$。由于 $A$ 对称，即 $A^T=A$，且 $X^TAY$ 是标量，其转置等于自身：$X^TAY=(X^TAY)^T=Y^TA^TX=Y^TAX=f(Y,X)$。因此 $f(X,Y)=f(Y,X)$。
公式：X^TAY = Y^TAX
提示：标量的转置等于自身，但需注意矩阵乘法顺序。
步骤 3/6
目标：验证线性性（加法）
对任意 $X,Y,Z\in V$，有 $f(X+Y,Z)=(X+Y)^TAZ=(X^T+Y^T)AZ=X^TAZ+Y^TAZ=f(X,Z)+f(Y,Z)$。
公式：(X+Y)^TAZ = X^TAZ + Y^TAZ
提示：矩阵乘法分配律：$(X+Y)^T = X^T+Y^T$。
步骤 4/6
目标：验证线性性（数乘）
对任意实数 $k$ 和 $X,Y\in V$，有 $f(kX,Y)=(kX)^TAY=k(X^TAY)=kf(X,Y)$。
公式：(kX)^TAY = k(X^TAY)
提示：数乘转置：$(kX)^T = kX^T$。
步骤 5/6
目标：验证正定性
计算 $f(X,X)=X^TAX$。由于 $A$ 正定，对任意非零向量 $X$，有 $X^TAX>0$；当 $X=0$ 时，$X^TAX=0$。因此 $f(X,X)\geq0$，且等号成立当且仅当 $X=0$。
公式：X^TAX > 0 \quad (X\neq 0)
提示：正定矩阵的定义：对任意非零列向量 $X$，$X^TAX>0$。
步骤 6/6
目标：总结结论
由以上四条公理成立，$f(X,Y)=X^TAY$ 是 $V$ 上的一个内积。
提示：内积定义需同时满足对称性、线性性和正定性。
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