东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．（14 分）设 $A, B$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，$A B=B A$ ，证明：$A, B$ 可同时对角化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用A可对角化，找到可逆矩阵P
由于$A$有$n$个互不相同的特征值，故$A$可对角化。存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$，其中$\lambda_i$互不相同。
提示：注意特征值互不相同保证了对角化矩阵存在，且对角矩阵的对角元是特征值。
步骤 2/5
目标：利用交换性得到新矩阵可交换
由$AB=BA$，左乘$P^{-1}$右乘$P$得：$(P^{-1}AP)(P^{-1}BP) = (P^{-1}BP)(P^{-1}AP)$。令$D = P^{-1}AP$，$C = P^{-1}BP$，则$DC = CD$。
公式：P^{-1}(AB)P = P^{-1}(BA)P \Rightarrow (P^{-1}AP)(P^{-1}BP) = (P^{-1}BP)(P^{-1}AP)
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘P^{-1}右乘P等价于相似变换。
步骤 3/5
目标：将C的元素与D的对角元建立关系
设$C = (c_{ij})$，则$DC = CD$给出：$\lambda_i c_{ij} = c_{ij} \lambda_j$，即$(\lambda_i - \lambda_j)c_{ij} = 0$。
公式：\lambda_i c_{ij} = c_{ij} \lambda_j
提示：注意矩阵乘法：$DC$的$(i,j)$元是$\lambda_i c_{ij}$，$CD$的$(i,j)$元是$c_{ij}\lambda_j$。
步骤 4/5
目标：利用特征值互异推出C的非对角元为零
当$i \neq j$时，$\lambda_i \neq \lambda_j$，故$\lambda_i - \lambda_j \neq 0$，从而$c_{ij}=0$。因此$C$是对角矩阵。
提示：注意$i=j$时$\lambda_i-\lambda_j=0$，$c_{ii}$可以任意。
步骤 5/5
目标：得出结论：A和B同时对角化
由于$C = P^{-1}BP$是对角矩阵，且$D = P^{-1}AP$也是对角矩阵，因此$P$同时将$A$和$B$对角化，即$A,B$可同时对角化。
提示：注意同时对角化要求同一个可逆矩阵P同时对角化两个矩阵。
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