东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．（7 分）设 $A, B, C$ 都是有理数域上的 $n$ 阶方阵，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$M=\left(\begin{array}{cc}k E & A \\ B & C\end{array}\right)$ ，若对任意正整数 $k$ 有 $|M|=0$ ，证：必有 $|C|=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意并设定矩阵
已知 $A, B, C$ 是有理数域上的 $n$ 阶方阵，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$M = \begin{pmatrix} kE & A \\ B & C \end{pmatrix}$。条件：对任意正整数 $k$，有 $|M| = 0$。需证 $|C| = 0$。
提示：注意 $k$ 是任意正整数，且 $kE$ 可逆。
步骤 2/6
目标：对分块矩阵进行行变换
构造分块初等矩阵 $\begin{pmatrix} E & 0 \\ -B/k & E \end{pmatrix}$，左乘 $M$，得到：
$$\begin{pmatrix} E & 0 \\ -B/k & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} kE & A \\ B & C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kE & A \\ 0 & C - \frac{1}{k} BA \end{pmatrix}.$$
由于左乘矩阵的行列式为 $1$，故 $|M| = \left| \begin{pmatrix} kE & A \\ 0 & C - \frac{1}{k} BA \end{pmatrix} \right|$。
公式：分块矩阵的行列式：$\begin{vmatrix} X & Y \\ 0 & Z \end{vmatrix} = |X| \cdot |Z|$
提示：确保左乘矩阵的行列式为1，且变换后矩阵为上三角分块形式。
步骤 3/6
目标：计算变换后的行列式
利用分块矩阵的行列式性质，有：
$$|M| = |kE| \cdot \left| C - \frac{1}{k} BA \right| = k^n \left| C - \frac{1}{k} BA \right|.$$
由条件 $|M|=0$ 对任意正整数 $k$ 成立，且 $k^n \neq 0$，所以 $\left| C - \frac{1}{k} BA \right| = 0$ 对所有正整数 $k$ 成立。
公式：$|kE| = k^n$
提示：注意 $k$ 是正整数，$k^n \neq 0$，因此可以约去。
步骤 4/6
目标：定义函数并分析其性质
定义函数 $f(k) = \left| C - \frac{1}{k} BA \right|$，则 $f(k)$ 是 $k$ 的有理函数（因为行列式是矩阵元素的多元多项式，而 $1/k$ 是有理函数）。由前一步，对任意正整数 $k$，有 $f(k)=0$。
提示：注意 $f(k)$ 的定义域包含所有正整数，且 $f(k)$ 在 $k \to \infty$ 时趋于 $|C|$。
步骤 5/6
目标：取极限得到结论
由于 $f(k)$ 在 $k \to \infty$ 时极限为 $|C|$，且 $f(k)$ 在无穷远处连续（作为有理函数），所以 $|C| = \lim_{k \to \infty} f(k) = \lim_{k \to \infty} 0 = 0$。因此 $|C|=0$。
公式：$\lim_{k \to \infty} \left| C - \frac{1}{k} BA \right| = |C|$
提示：极限的合理性：$f(k)$ 是 $k$ 的有理函数，在 $k \to \infty$ 时极限存在且等于常数项。
步骤 6/6
目标：总结证明
综上，由对任意正整数 $k$ 有 $|M|=0$，推导出 $|C|=0$，证毕。
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