东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．（10 分）证明：$r(A) \leq 1$ 当且仅当存在列向量 $\alpha \in K^{m}, \beta \in K^{n}$ ，使得 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目要求
题目要求证明：矩阵$A$的秩$r(A) \leq 1$当且仅当存在列向量$\alpha \in K^m$和$\beta \in K^n$使得$A = \alpha \beta^T$。需要分别证明必要性和充分性。
提示：注意$\alpha$和$\beta$分别是$m$维和$n$维列向量，$\beta^T$是行向量。
步骤 2/5
目标：必要性：秩为0的情况
若$r(A)=0$，则$A=0$。取$\alpha=0$（零向量），$\beta=0$，则$\alpha \beta^T = 0 \cdot 0^T = 0$，满足$A=\alpha \beta^T$。
提示：零向量与任何向量的乘积为零矩阵。
步骤 3/5
目标：必要性：秩为1的情况
若$r(A)=1$，则$A$的列空间维数为1，存在非零列向量$\alpha$使得$A$的每一列都是$\alpha$的倍数。设$A$的第$j$列为$c_j \alpha$，其中$c_j \in K$。令$\beta = (c_1, c_2, \dots, c_n)^T$，则$A = \alpha \beta^T$。
公式：$A = [c_1 \alpha, c_2 \alpha, \dots, c_n \alpha] = \alpha [c_1, c_2, \dots, c_n] = \alpha \beta^T$
提示：注意$\beta$是列向量，$\beta^T$是行向量。
步骤 4/5
目标：充分性：证明秩≤1
若存在列向量$\alpha \in K^m$和$\beta \in K^n$使得$A = \alpha \beta^T$，则$A$的每一列都是$\alpha$的倍数（因为第$j$列为$\beta_j \alpha$），因此$A$的列空间维数不超过1，即$r(A) \leq 1$。
提示：注意$\beta_j$是标量，$\alpha$是列向量。
步骤 5/5
目标：总结
必要性：若$r(A) \leq 1$，则存在$\alpha, \beta$使得$A=\alpha \beta^T$。充分性：若$A=\alpha \beta^T$，则$r(A) \leq 1$。因此命题成立。
提示：注意秩为0时也包含在$r(A) \leq 1$中。
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