东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．（7分）给定数域 $K$ 上的对角矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{llll}
\lambda_{1} & & & \\
& \lambda_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$
其中 $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}(i \neq j)$ ，求与 $A$ 可交换的数域 $K$ 上的所有 $n$ 阶方阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设未知矩阵并写出交换条件
设 $B=(b_{ij})$ 是与 $A$ 可交换的 $n$ 阶方阵，即满足 $AB=BA$。
公式：AB=BA
提示：注意矩阵乘法顺序，$AB$ 与 $BA$ 不同。
步骤 2/8
目标：计算 $AB$
计算 $AB$：由于 $A$ 是对角矩阵，$AB$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\lambda_i b_{ij}$，即
$$AB = \begin{pmatrix} \lambda_1 b_{11} & \lambda_1 b_{12} & \cdots & \lambda_1 b_{1n} \\ \lambda_2 b_{21} & \lambda_2 b_{22} & \cdots & \lambda_2 b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_n b_{n1} & \lambda_n b_{n2} & \cdots & \lambda_n b_{nn} \end{pmatrix}.$$
公式：(AB)_{ij} = \lambda_i b_{ij}
提示：注意 $A$ 左乘 $B$ 时，$A$ 的对角元乘到 $B$ 的对应行。
步骤 3/8
目标：计算 $BA$
计算 $BA$：$BA$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\lambda_j b_{ij}$，即
$$BA = \begin{pmatrix} \lambda_1 b_{11} & \lambda_2 b_{12} & \cdots & \lambda_n b_{1n} \\ \lambda_1 b_{21} & \lambda_2 b_{22} & \cdots & \lambda_n b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1 b_{n1} & \lambda_2 b_{n2} & \cdots & \lambda_n b_{nn} \end{pmatrix}.$$
公式：(BA)_{ij} = \lambda_j b_{ij}
提示：注意 $A$ 右乘 $B$ 时，$A$ 的对角元乘到 $B$ 的对应列。
步骤 4/8
目标：由 $AB=BA$ 得到方程
由 $AB=BA$，对应元素相等：对于任意 $i,j$，有 $\lambda_i b_{ij} = \lambda_j b_{ij}$。
公式：\lambda_i b_{ij} = \lambda_j b_{ij}
提示：不要遗漏任何元素，包括对角元。
步骤 5/8
目标：分析非对角元
当 $i \neq j$ 时，方程化为 $(\lambda_i - \lambda_j)b_{ij}=0$。由于 $\lambda_i \neq \lambda_j$，所以 $b_{ij}=0$。
公式：(\lambda_i - \lambda_j)b_{ij}=0 \Rightarrow b_{ij}=0 \ (i\neq j)
提示：条件 $\lambda_i \neq \lambda_j$ 是解题关键，否则非对角元可能非零。
步骤 6/8
目标：分析对角元
当 $i=j$ 时，方程化为 $\lambda_i b_{ii} = \lambda_i b_{ii}$，恒成立，所以 $b_{ii}$ 可以取任意值。
公式：\lambda_i b_{ii} = \lambda_i b_{ii}
提示：对角元没有约束，可以任意取值。
步骤 7/8
目标：得出 $B$ 的形式
因此，$B$ 的非对角元全为零，对角元任意，即 $B$ 是对角矩阵：$B = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)$，其中 $d_i \in K$。
公式：B = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)
提示：注意 $d_i$ 是数域 $K$ 中的任意元素。
步骤 8/8
目标：总结答案
所以，与 $A$ 可交换的所有 $n$ 阶方阵就是所有 $n$ 阶对角矩阵。
提示：答案要明确写出所有对角矩阵。
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