东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．（10分）求可逆矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} B T=J$ 为 Jordan 标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求特征值
矩阵 $B$ 是上三角矩阵，因此特征值就是对角线元素。特征多项式为 $\det(B-\lambda I) = (2-\lambda)^3$，所以特征值为 $\lambda = 2$（三重根）。
公式：$\det(B-\lambda I) = (2-\lambda)^3$
提示：注意上三角矩阵的特征值直接读对角线元素。
步骤 2/7
目标：计算几何重数
计算 $(B-2I) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，其秩为2，所以几何重数 $= 3 - 2 = 1$。代数重数为3，因此Jordan块大小为3。
公式：$\text{几何重数} = \dim\ker(B-2I) = 3 - \operatorname{rank}(B-2I)$
提示：几何重数等于特征空间的维数，即线性无关特征向量的个数。
步骤 3/7
目标：求特征向量
解 $(B-2I)v_1 = 0$，即 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} v_1 = 0$。取 $v_1 = (1,0,0)^T$。
公式：$(B-2I)v_1 = 0$
提示：特征向量不唯一，但需保证后续广义特征向量可解。
步骤 4/7
目标：求第一级广义特征向量
解 $(B-2I)v_2 = v_1$，即 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。取 $v_2 = (0,1,0)^T$。
公式：$(B-2I)v_2 = v_1$
提示：注意方程组有解的条件：$v_1$ 在 $(B-2I)$ 的列空间中。
步骤 5/7
目标：求第二级广义特征向量
解 $(B-2I)v_3 = v_2$，即 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。取 $v_3 = (0,0,1)^T$。
公式：$(B-2I)v_3 = v_2$
提示：广义特征向量顺序不能颠倒。
步骤 6/7
目标：构造可逆矩阵T
令 $T = (v_1, v_2, v_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，即单位矩阵。
公式：$T = [v_1, v_2, v_3]$
提示：T的列向量顺序对应Jordan块的顺序。
步骤 7/7
目标：验证Jordan标准形
计算 $T^{-1}BT = B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，这正是Jordan标准形 $J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：$T^{-1}BT = J$
提示：验证时注意矩阵乘法顺序。
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