东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．（15 分）证明：$r(A)=r$ 当且仅当存在两个线性无关的列向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$ ，使得 $A=\alpha_{1} \beta_{1}^{\mathrm{T}}+\alpha_{2} \beta_{2}^{\mathrm{T}}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{\mathrm{T}}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件和目标
题目要求证明：矩阵$A$的秩$r(A)=r$当且仅当存在两个线性无关的列向量组$\alpha_1,\ldots,\alpha_r$和$\beta_1,\ldots,\beta_r$，使得$A=\sum_{i=1}^r \alpha_i \beta_i^T$。需要分别证明必要性和充分性。
提示：注意向量组是列向量，$\beta_i^T$是行向量，乘积$\alpha_i \beta_i^T$是秩1矩阵。
步骤 2/6
目标：必要性：从秩条件构造分解
设$r(A)=r$，则存在可逆矩阵$P$和$Q$使得$A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。将$P$按列分块为$P = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$，将$Q$按行分块为$Q = (\beta_1, \ldots, \beta_n)^T$，则$A = \sum_{i=1}^r \alpha_i \beta_i^T$。由于$P$可逆，$\alpha_1,\ldots,\alpha_r$线性无关；由于$Q$可逆，$\beta_1,\ldots,\beta_r$线性无关。
公式：A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意$P$和$Q$的阶数：$P$是$m\times m$，$Q$是$n\times n$，$A$是$m\times n$。
步骤 3/6
目标：充分性：从分解证明秩至少为r
已知$A = \sum_{i=1}^r \alpha_i \beta_i^T$，且$\beta_1,\ldots,\beta_r$线性无关。考虑线性方程组$\beta_i^T x = \delta_{ij}$（$i=1,\ldots,r$），由于$\beta_i$线性无关，存在向量$x_j$使得$\beta_i^T x_j = \delta_{ij}$（例如取$\beta_i$为基的对偶基）。于是$A x_j = \sum_{i=1}^r \alpha_i (\beta_i^T x_j) = \alpha_j$，所以$\alpha_j$属于$A$的列空间，因此$r(A) \geq r$。
公式：A x_j = \alpha_j
提示：存在性依赖于$\beta_i$线性无关，可构造矩阵$B=(\beta_1,\ldots,\beta_r)^T$，则$B$行满秩，存在右逆。
步骤 4/6
目标：充分性：证明秩不超过r
由$A = \sum_{i=1}^r \alpha_i \beta_i^T$知，$A$的每一列都是$\alpha_1,\ldots,\alpha_r$的线性组合（因为$\beta_i^T$是行向量，与列向量相乘得数），所以列空间包含于$\text{span}\{\alpha_1,\ldots,\alpha_r\}$，故$r(A) \leq r$。
提示：注意$\alpha_i$是列向量，$\beta_i^T$是行向量，乘积是矩阵，其列是$\alpha_i$的倍数。
步骤 5/6
目标：充分性：结合上下界得秩等于r
由前两步得$r \leq r(A) \leq r$，因此$r(A)=r$。
提示：注意等号成立的条件。
步骤 6/6
目标：总结结论
必要性已证：若$r(A)=r$，则存在线性无关的$\alpha_i,\beta_i$使得$A=\sum \alpha_i \beta_i^T$。充分性已证：若存在这样的分解，则$r(A)=r$。因此命题成立。
提示：证明中使用了矩阵的秩标准形和对偶基的概念。
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