东华大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．（6 分）求 $a, b, c$ ，使线性方程组 $A X=B$ 有解 $x_{1}=1, x_{2}=a, x_{3}=b, x_{4}=c$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意并假设方程组
题目未给出具体方程组，但要求使线性方程组 $AX=B$ 有解 $x_1=1, x_2=a, x_3=b, x_4=c$。通常需要根据方程组系数确定 $a,b,c$。这里假设一个典型的三方程四未知数方程组作为示例：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\
2x_1 + 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 2 \\
3x_1 + 4x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 3
\end{cases}
\]
提示：注意：实际题目中方程组可能不同，但解题方法类似。
步骤 2/6
目标：代入已知解
将 $x_1=1, x_2=a, x_3=b, x_4=c$ 代入假设的方程组：
\[
\begin{cases}
1 + a + b + c = 1 \\
2 + 3a + b + 2c = 2 \\
3 + 4a + 2b + 3c = 3
\end{cases}
\]
提示：代入时要小心符号和系数，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：化简方程组
将常数项移到右边，得到齐次线性方程组：
\[
\begin{cases}
a + b + c = 0 \\
3a + b + 2c = 0 \\
4a + 2b + 3c = 0
\end{cases}
\]
提示：化简时注意等式两边同时减去常数。
步骤 4/6
目标：消元求解
由第一式得 $b = -a - c$。代入第二式：
\[
3a + (-a - c) + 2c = 2a + c = 0 \Rightarrow c = -2a
\]
提示：代入时注意括号和符号，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：验证第三式
将 $b = -a - c$ 和 $c = -2a$ 代入第三式：
\[
4a + 2(-a - (-2a)) + 3(-2a) = 4a + 2(-a + 2a) - 6a = 4a + 2a - 6a = 0
\]
恒成立，说明方程组有解。
提示：验证是确保解正确的重要步骤。
步骤 6/6
目标：表达解的参数形式
由 $c = -2a$ 和 $b = -a - c = -a - (-2a) = a$，得解为：
\[
a \text{ 任意}, \quad b = a, \quad c = -2a
\]
提示：注意自由参数 $a$ 可以取任意实数。
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