东南大学 2020年高等代数第3题
📝 题目
3．证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 实矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}+2 A+3 E=0$ 当且仅当 $n$ 为偶数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析多项式性质
给定方程 $A^2 + 2A + 3E = 0$，考虑多项式 $f(x) = x^2 + 2x + 3$。计算判别式 $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$，因此 $f(x)$ 在实数域上不可约，且有一对共轭复根 $\lambda = -1 \pm \sqrt{2}i$。
公式：$\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 12 = -8$
提示：注意判别式小于0，说明多项式无实根，这对后续特征值分析至关重要。
步骤 2/5
目标：必要性：推导n为偶数
由于 $f(A)=0$，$A$ 的最小多项式整除 $f(x)$，因此 $A$ 的最小多项式无实根。从而 $A$ 的特征值均为复数且成对共轭出现（因为实矩阵的特征多项式是实系数，非实复根必成对共轭）。特征值的总个数为 $n$，故非实复根的个数为偶数，所以 $n$ 必为偶数。
提示：注意：实矩阵的特征值若为复数，则其共轭也是特征值，且代数重数相同。
步骤 3/5
目标：充分性：构造2×2矩阵
设 $n=2k$。先构造 $2\times 2$ 矩阵满足条件。取 $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，则 $B^2 = -E_2$。令 $A_0 = -E_2 + \sqrt{2}B$，计算 $A_0^2 = (-E_2 + \sqrt{2}B)^2 = E_2 - 2\sqrt{2}B + 2B^2 = E_2 - 2\sqrt{2}B - 2E_2 = -E_2 - 2\sqrt{2}B$。于是 $A_0^2 + 2A_0 + 3E_2 = (-E_2 - 2\sqrt{2}B) + 2(-E_2 + \sqrt{2}B) + 3E_2 = (-1-2+3)E_2 + (-2\sqrt{2}+2\sqrt{2})B = 0$。因此 $A_0$ 满足条件。
公式：$A_0 = -E_2 + \sqrt{2}B$，$B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意 $B^2 = -E_2$，这是关键性质。计算时小心符号。
步骤 4/5
目标：充分性：推广到n=2k
对于 $n=2k$，取分块对角矩阵 $A = \operatorname{diag}(A_0, A_0, \dots, A_0)$，共 $k$ 个 $A_0$ 块。由于每个块满足 $A_0^2 + 2A_0 + 3E_2 = 0$，且不同块之间互不影响，因此 $A^2 + 2A + 3E_n = 0$。
公式：$A = \operatorname{diag}(A_0, A_0, \dots, A_0)$
提示：分块对角矩阵的运算是对每个块独立进行的，注意单位矩阵的阶数。
步骤 5/5
目标：总结结论
必要性已证 $n$ 为偶数，充分性已构造出 $n$ 为偶数时的矩阵 $A$，因此存在 $n\times n$ 实矩阵 $A$ 满足 $A^2+2A+3E=0$ 当且仅当 $n$ 为偶数。
提示：注意充分性构造中 $A_0$ 是实矩阵，因为 $B$ 是实矩阵。
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