东南大学 2020年高等代数第6题
📝 题目
6．$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$W$ 为其子空间，$\displaystyle \eta_{0} \in V$ ，存在 $\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in \mathbb{V}}\left|\xi-\eta_{0}\right|_{0}$
（1）证明：$\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in W}\left|\xi-\eta_{0}\right|$ 当且仅当 $\displaystyle \eta-\eta_{0} \perp W$ ：
（2）$\displaystyle \eta_{0}$ 为单位向量，则 $\displaystyle \eta_{0}$ 与 $W$ 的距离为 1 当且仅当 $\displaystyle \eta_{0} \perp W$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：问题（1）必要性证明：构造辅助函数求导
设 $\eta \in W$ 使得 $\|\eta - \eta_0\| = \min_{\xi \in W} \|\xi - \eta_0\|$。对任意 $w \in W$，考虑函数 $f(t) = \|\eta + t w - \eta_0\|^2$，其中 $t \in \mathbb{R}$。展开得 $f(t) = \|\eta - \eta_0\|^2 + 2t \langle \eta - \eta_0, w \rangle + t^2 \|w\|^2$。由于 $t=0$ 时 $f(t)$ 取最小值，故 $f'(0) = 2 \langle \eta - \eta_0, w \rangle = 0$，即 $\langle \eta - \eta_0, w \rangle = 0$ 对所有 $w \in W$ 成立，所以 $\eta - \eta_0 \perp W$。
公式：$f(t) = \|\eta - \eta_0\|^2 + 2t \langle \eta - \eta_0, w \rangle + t^2 \|w\|^2$
提示：注意 $f(t)$ 是二次函数，最小值在导数为零处取得，且 $w$ 是任意方向，因此内积为零。
步骤 2/4
目标：问题（1）充分性证明：利用正交分解
设 $\eta \in W$ 且 $\eta - \eta_0 \perp W$。对任意 $\xi \in W$，有 $\xi - \eta_0 = (\xi - \eta) + (\eta - \eta_0)$，且 $\xi - \eta \in W$，$\eta - \eta_0 \perp W$，故 $\langle \xi - \eta, \eta - \eta_0 \rangle = 0$。于是 $\|\xi - \eta_0\|^2 = \|\xi - \eta\|^2 + \|\eta - \eta_0\|^2 \ge \|\eta - \eta_0\|^2$，等号成立当且仅当 $\xi = \eta$。因此 $\|\eta - \eta_0\| = \min_{\xi \in W} \|\xi - \eta_0\|$。
公式：$\|\xi - \eta_0\|^2 = \|\xi - \eta\|^2 + \|\eta - \eta_0\|^2$
提示：正交分解后利用勾股定理，注意等号成立条件。
步骤 3/4
目标：问题（2）必要性证明：由距离为1推出正交
设 $\eta_0$ 为单位向量，$d(\eta_0, W) = 1$，则存在 $\eta \in W$ 使得 $\|\eta - \eta_0\| = 1$。由（1）知 $\eta - \eta_0 \perp W$。特别地，取 $\xi = \eta \in W$，则 $\langle \eta - \eta_0, \eta \rangle = 0$，即 $\langle \eta, \eta \rangle = \langle \eta_0, \eta \rangle$。又因为 $\|\eta - \eta_0\|^2 = \|\eta\|^2 + \|\eta_0\|^2 - 2\langle \eta, \eta_0 \rangle = 1$，代入 $\|\eta_0\|=1$ 得 $\|\eta\|^2 + 1 - 2\langle \eta, \eta_0 \rangle = 1$，即 $\|\eta\|^2 = 2\langle \eta, \eta_0 \rangle$。结合 $\langle \eta, \eta \rangle = \langle \eta_0, \eta \rangle$ 得 $\|\eta\|^2 = \langle \eta, \eta_0 \rangle$，代入前式得 $\|\eta\|^2 = 2\|\eta\|^2$，故 $\|\eta\| = 0$，即 $\eta = 0$。于是 $\eta - \eta_0 = -\eta_0 \perp W$，所以 $\eta_0 \perp W$。
公式：$\|\eta - \eta_0\|^2 = \|\eta\|^2 + \|\eta_0\|^2 - 2\langle \eta, \eta_0 \rangle$
提示：注意利用（1）的结论，并解方程组得到 $\eta=0$。
步骤 4/4
目标：问题（2）充分性证明：由正交推出距离为1
若 $\eta_0 \perp W$，则取 $\eta = 0 \in W$，有 $\|\eta - \eta_0\| = \|\eta_0\| = 1$。由（1）知 $\eta - \eta_0 = -\eta_0 \perp W$，故 $\|\eta - \eta_0\| = 1$ 是 $\eta_0$ 到 $W$ 的最小距离，即 $d(\eta_0, W) = 1$。
提示：直接取 $\eta=0$ 验证即可，注意（1）的充分性条件。
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