东南大学 2020年高等代数第8题

给定 $M=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$，定义 $V_M=\{X\in P^{2\times 2}\mid MX=O\}$。设 $X=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}$，其中 $x_{ij}\in P$。

计算 $MX = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_{11}-x_{21} & x_{12}-x_{22} \\ x_{11}-x_{21} & x_{12}-x_{22}\end{pmatrix}$。令 $MX=O$，得方程组： \[\begin{cases}x_{11}-x_{21}=0 \\ x_{12}-x_{22}=0\end{cases}\] 注意两个方程重复，实际只有两个独立方程。

由方程组得 $x_{11}=x_{21}$，$x_{12}=x_{22}$。令 $a=x_{11}$，$b=x_{12}$，则 $X=\begin{pmatrix}a & b \\ a & b\end{pmatrix}$，其中 $a,b\in P$。

取 $a=1,b=0$ 得 $E_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$；取 $a=0,b=1$ 得 $E_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$。则 $E_1,E_2$ 线性无关且张成 $V_M$，故为 $V_M$ 的一组基。维数为2。

设 $M$ 是 $m\times n$ 矩阵，秩为 $r$。$V_M=\{X\in P^{n\times n}\mid MX=O\}$。$X$ 有 $n$ 列，每列是 $n$ 维列向量。方程 $MX=O$ 等价于 $M$ 乘以 $X$ 的每一列等于零向量。

$MX=O$ 给出 $m\times n$ 个方程，但 $M$ 的秩为 $r$，意味着 $M$ 的行向量组秩为 $r$。对 $X$ 的每一列，方程 $M\cdot (\text{列})=0$ 是 $m$ 个方程，但只有 $r$ 个独立（因为行秩为 $r$）。由于 $X$ 有 $n$ 列，每列独立，故总独立方程个数为 $r\times n$。

$X$ 有 $n^2$ 个未知数，独立方程个数为 $r n$，故解空间维数为 $n^2 - r n = n(n-r)$。另一种观点：$X$ 的每一列属于 $M$ 的零空间，零空间维数为 $n-r$，故 $X$ 的 $n$ 列张成 $n(n-r)$ 维空间。因此 $\dim V_M = n(n-r)$。