东南大学 2020年高等代数第9题
📝 题目
9．定义 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle f(X)=A X B, X \in P^{2 \times 2}$ ，其中，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right)$ ，
$$
B=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
$$
（1）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。
（2）判断是否存在一组基，使 $f$ 在该基下的矩阵为对角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算f(E11)并表示为基的线性组合
计算 $f(E_{11}) = A E_{11} B$。首先 $A E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$，然后乘以 $B$：$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 0 \cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + (-1) \cdot E_{22}$。
公式：$f(E_{ij}) = A E_{ij} B$
提示：注意矩阵乘法顺序，先左乘A再右乘B。
步骤 2/6
目标：计算f(E12)并表示为基的线性组合
计算 $f(E_{12}) = A E_{12} B$。首先 $A E_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，然后乘以 $B$：$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} + (-1) \cdot E_{21} + 0 \cdot E_{22}$。
提示：注意矩阵乘法顺序，先左乘A再右乘B。
步骤 3/6
目标：计算f(E21)并表示为基的线性组合
计算 $f(E_{21}) = A E_{21} B$。首先 $A E_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$，然后乘以 $B$：$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 0 \cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + (-1) \cdot E_{22}$。
提示：注意矩阵乘法顺序，先左乘A再右乘B。
步骤 4/6
目标：计算f(E22)并表示为基的线性组合
计算 $f(E_{22}) = A E_{22} B$。首先 $A E_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，然后乘以 $B$：$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} + (-1) \cdot E_{21} + 0 \cdot E_{22}$。
提示：注意矩阵乘法顺序，先左乘A再右乘B。
步骤 5/6
目标：构造f在给定基下的矩阵
将每个 $f(E_{ij})$ 的坐标按列排列成矩阵。$f(E_{11})$ 的坐标为 $(0,1,0,-1)^T$，$f(E_{12})$ 的坐标为 $(1,0,-1,0)^T$，$f(E_{21})$ 的坐标为 $(0,1,0,-1)^T$，$f(E_{22})$ 的坐标为 $(1,0,-1,0)^T$。因此矩阵为 $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意坐标按列排列，不要混淆行和列。
步骤 6/6
目标：判断f是否可对角化
计算矩阵 $M$ 的特征值。由于 $M$ 的秩为2（第1行与第3行成比例，第2行与第4行成比例），所以0是特征值且几何重数至少为2。计算特征多项式：$\det(M-\lambda I) = \lambda^4 - 4\lambda^2 = \lambda^2(\lambda^2-4)$，特征值为0（二重）、2、-2。对于0，几何重数等于代数重数2；对于2和-2，代数重数为1，几何重数也为1。因此 $M$ 可对角化，从而存在一组基使 $f$ 的矩阵为对角阵。
公式：$\det(M-\lambda I)=0$
提示：注意特征多项式计算，可利用矩阵的秩简化。
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