东南大学 2021年高等代数第2题
📝 题目
2．已知 $\displaystyle V=\mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，定义 $V$ 上的变换 $T$ 满足 $\displaystyle T(A)=A+A^{\prime}, A \in V$ ．
（1）证明 $T$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）写出 $T$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵；
（3）求 $T$ 的特征值并写出特征子空间的一组基；
（4）$T$ 是否可以对角化？
（5）计算 $T$ 中心化子空间的维数，即所有满足 $\displaystyle T X=X T$ 的线性变换 $X$ 所生成的线性空间的维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明T是线性变换
对任意$A,B\in V$和$k\in\mathbb{C}$，有$T(A+B)=(A+B)+(A+B)'=A+B+A'+B'=(A+A')+(B+B')=T(A)+T(B)$，$T(kA)=kA+(kA)'=kA+kA'=k(A+A')=kT(A)$，因此$T$是线性变换。
公式：T(A+B)=T(A)+T(B), T(kA)=kT(A)
提示：注意矩阵转置的线性性质：$(A+B)'=A'+B'$，$(kA)'=kA'$。
步骤 2/5
目标：写出T在基下的矩阵
基向量：$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$，$E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$。计算：$T(E_{11})=E_{11}+E_{11}'=2E_{11}$，$T(E_{12})=E_{12}+E_{21}$，$T(E_{21})=E_{21}+E_{12}$，$T(E_{22})=2E_{22}$。因此矩阵为$M=\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}$。
公式：T(E_{ij}) = E_{ij} + E_{ji}
提示：注意$E_{12}'=E_{21}$，$E_{21}'=E_{12}$，对角元转置不变。
步骤 3/5
目标：求特征值和特征子空间
特征多项式：$\det(M-\lambda I)=(2-\lambda)^2((1-\lambda)^2-1)=\lambda(2-\lambda)^3$，特征值$\lambda=0$（单根），$\lambda=2$（三重根）。对于$\lambda=0$，解$(M-0I)v=0$得$v_1=0,v_4=0,v_2+v_3=0$，基础解系$(0,1,-1,0)^T$，对应矩阵$E_{12}-E_{21}$。对于$\lambda=2$，解$(M-2I)v=0$得$v_2=v_3$，$v_1,v_4$自由，基础解系$(1,0,0,0)^T,(0,1,1,0)^T,(0,0,0,1)^T$，对应矩阵$E_{11},E_{12}+E_{21},E_{22}$。
公式：\det(M-\lambda I)=\lambda(2-\lambda)^3
提示：计算特征多项式时注意行列式展开，避免遗漏因子。
步骤 4/5
目标：判断T是否可对角化
特征值$2$的代数重数为$3$，几何重数等于特征子空间维数$3$，故$T$可对角化。
公式：代数重数=几何重数时对角化
提示：检查每个特征值的几何重数是否等于代数重数。
步骤 5/5
目标：计算中心化子空间的维数
由于$T$可对角化，且特征值$0$和$2$的几何重数分别为$1$和$3$，则$T$相似于$\operatorname{diag}(0,2,2,2)$。中心化子空间$C(T)=\{X\in\operatorname{End}(V)\mid TX=XT\}$的维数等于与$T$可交换的矩阵空间的维数，即分块对角矩阵的维数：$1^2+3^2=10$。
公式：\dim C(T)=\sum m_i^2，其中m_i为特征值的几何重数
提示：注意中心化子空间维数公式适用于可对角化矩阵。
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