📝 东南大学 2021年高等代数真题

1．讨论方程组

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
a & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & a & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & a & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & a
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4} \\
x_{5}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1 \\
b \\
0
\end{array}\right)
$$

何时有唯一解？何时有无穷多解？并在有解时求其通解．

2．已知 $\displaystyle V=\mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，定义 $V$ 上的变换 $T$ 满足 $\displaystyle T(A)=A+A^{\prime}, A \in V$ ．
（1）证明 $T$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）写出 $T$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵；
（3）求 $T$ 的特征值并写出特征子空间的一组基；
（4）$T$ 是否可以对角化？
（5）计算 $T$ 中心化子空间的维数，即所有满足 $\displaystyle T X=X T$ 的线性变换 $X$ 所生成的线性空间的维数．

3．已知复数域上的两个三阶方阵为

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 5 \\
0 & a & 7 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 7 \\
0 & b & c \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right) .
$$

（1）讨论矩阵 $A$ 的若尔当标准形；
（2）若 $\displaystyle A, B$ 相似，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值．

4．已知 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle h(x), f(x), g(x) \in P[x]$ 满足 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle W=\operatorname{Ker} h(\mathscr{A}), W_{1}=\operatorname{Ker} f(\mathscr{A}), W_{2}=\operatorname{Ker} g(\mathscr{A})$ ．
（1）证明 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 均为 $W$ 的子空间；
（2）证明 $\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

5．已知两个 $n$ 阶实对称矩阵 $\displaystyle A, B$ 相似，证明它们在实数域上合同．

6．已知 $A$ 是 $\displaystyle s \times n$ 列满秩矩阵，$B$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，证明 $\displaystyle r(A B)=r(B)$ ．

7．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是复数域上线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的一个非零向量，$\displaystyle W \subseteq V$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，若存在多项式 $\displaystyle p(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，使得 $\displaystyle p(\mathscr{A}) \alpha \in W$ ，则称 $\displaystyle p(x)$ 为 $\displaystyle \alpha$ 到 $W$ 的导向多项式，所有导向多项式中次数最低且首项系数为 1 的多项式称为极小 $\displaystyle \alpha$ 型多项式，记为 $\displaystyle m(x)$ 。
（1）证明：对任意的导向多项式 $\displaystyle p(x)$ ，均有 $\displaystyle m(x) \mid p(x)$ ；
（2）证明：极小 $\displaystyle \alpha$ 型多项式存在且唯一；
（3）（可能有误）若 $W$ 为 $V$ 的真子空间，则存在 $\displaystyle \alpha \notin W$ 及多项式 $\displaystyle q(x) \in \mathbb{C}[x]$ 使得 $\displaystyle q(\mathscr{A}) \alpha-c \alpha \in W$ ，其中 $\displaystyle c \in \mathbb{C}$ 为常数．

8．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 分别为对应的特征向量，若 $W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s} \in W$ ，证明 $\displaystyle \operatorname{dim} W \geq s$ ．

9．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle f, g$ 为 $V$ 上的两个变换，若 $f$ 为正交变换，且对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有

$$
(f(\alpha), \beta)=(\alpha, g(\beta))
$$

证明 $g$ 也是 $V$ 上的正交变换．

10．已知 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶半正定矩阵，证明存在可逆实矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C, C^{\prime} B C$ 同时为对角矩阵．