东南大学 2021年高等代数第5题
📝 题目
5．已知两个 $n$ 阶实对称矩阵 $\displaystyle A, B$ 相似，证明它们在实数域上合同．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A \sim B$，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。需要证明 $A$ 与 $B$ 在实数域上合同，即存在可逆矩阵 $C$ 使得 $B = C^T A C$。
公式：B = P^{-1}AP
提示：注意相似与合同的定义区别：相似要求 $P^{-1}AP$，合同要求 $C^TAC$，且 $C$ 可逆。
步骤 2/5
目标：利用实对称矩阵的正交对角化性质
由于 $A$ 和 $B$ 是实对称矩阵，它们都可以正交对角化。即存在正交矩阵 $Q_1$ 和 $Q_2$ 使得 $A = Q_1 \Lambda Q_1^T$，$B = Q_2 \Lambda Q_2^T$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ 是特征值组成的对角矩阵。因为 $A$ 与 $B$ 相似，它们有相同的特征值，所以 $\Lambda$ 相同。
公式：A = Q_1 \Lambda Q_1^T, \quad B = Q_2 \Lambda Q_2^T
提示：正交矩阵满足 $Q^{-1} = Q^T$，且 $Q$ 的列向量是单位正交的特征向量。
步骤 3/5
目标：将 $B$ 用 $A$ 表示
由 $A = Q_1 \Lambda Q_1^T$ 可得 $\Lambda = Q_1^T A Q_1$。代入 $B = Q_2 \Lambda Q_2^T$ 得 $B = Q_2 (Q_1^T A Q_1) Q_2^T = (Q_2 Q_1^T) A (Q_2 Q_1^T)^T$。
公式：B = (Q_2 Q_1^T) A (Q_2 Q_1^T)^T
提示：注意矩阵乘法的结合律以及转置的性质：$(Q_2 Q_1^T)^T = Q_1 Q_2^T$，但这里需要的是 $C A C^T$ 的形式，所以 $C = Q_2 Q_1^T$。
步骤 4/5
目标：构造合同变换矩阵
令 $C = Q_2 Q_1^T$。由于 $Q_1$ 和 $Q_2$ 都是正交矩阵，它们的乘积 $C$ 也是正交矩阵，因此 $C$ 可逆。于是 $B = C A C^T$，这正是合同变换的形式。
公式：C = Q_2 Q_1^T, \quad B = C A C^T
提示：正交矩阵的乘积仍是正交矩阵，且正交矩阵可逆，其逆等于转置。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，存在可逆矩阵 $C$ 使得 $B = C^T A C$（注意 $C^T = (Q_2 Q_1^T)^T = Q_1 Q_2^T$，但这里 $C$ 本身是正交矩阵，所以 $C^T = C^{-1}$，但合同定义中要求 $C^T A C$，而我们已经得到 $B = C A C^T$，由于 $C$ 正交，$C^T = C^{-1}$，但 $C A C^T$ 与 $C^T A C$ 不同，实际上我们需要验证 $C A C^T$ 是否等于 $(C^T)^T A C^T$？注意合同定义中矩阵 $C$ 是任意的，我们只需令 $D = C^T$，则 $B = D^T A D$，其中 $D$ 可逆。因此 $A$ 与 $B$ 合同。
提示：注意合同定义中 $B = C^T A C$，而我们得到 $B = C A C^T$，由于 $C$ 正交，$C^T = C^{-1}$，但 $C A C^T$ 并不直接是 $C^T A C$ 的形式，不过我们可以令 $D = C^T$，则 $B = D^T A D$，所以合同成立。
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