东南大学 2021年高等代数第4题
📝 题目
4．已知 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle h(x), f(x), g(x) \in P[x]$ 满足 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle W=\operatorname{Ker} h(\mathscr{A}), W_{1}=\operatorname{Ker} f(\mathscr{A}), W_{2}=\operatorname{Ker} g(\mathscr{A})$ ．
（1）证明 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 均为 $W$ 的子空间；
（2）证明 $\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明W1是W的子空间
首先，由$h(\mathscr{A}) = f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})$，且$f(\mathscr{A})$与$g(\mathscr{A})$可交换。对任意$\alpha \in W_1$，有$f(\mathscr{A})\alpha = 0$，则$h(\mathscr{A})\alpha = g(\mathscr{A})f(\mathscr{A})\alpha = 0$，所以$\alpha \in W$，即$W_1 \subseteq W$。又$W_1$是核空间，显然是子空间，故$W_1$是$W$的子空间。
公式：$h(\mathscr{A}) = f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})$
提示：注意线性变换的复合顺序：$h(\mathscr{A}) = f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})$，且可交换。
步骤 2/6
目标：证明W2是W的子空间
同理，对任意$\alpha \in W_2$，有$g(\mathscr{A})\alpha = 0$，则$h(\mathscr{A})\alpha = f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})\alpha = 0$，所以$\alpha \in W$，即$W_2 \subseteq W$。又$W_2$是核空间，显然是子空间，故$W_2$是$W$的子空间。
提示：与上一步对称，注意$f(\mathscr{A})$与$g(\mathscr{A})$可交换。
步骤 3/6
目标：利用互素条件得到恒等式
由于$(f(x), g(x)) = 1$，存在$u(x), v(x) \in P[x]$使得$u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。将$\mathscr{A}$代入得$u(\mathscr{A})f(\mathscr{A}) + v(\mathscr{A})g(\mathscr{A}) = \mathcal{I}$，其中$\mathcal{I}$是恒等变换。
公式：$u(\mathscr{A})f(\mathscr{A}) + v(\mathscr{A})g(\mathscr{A}) = \mathcal{I}$
提示：注意多项式互素时存在Bezout等式，代入线性变换时保持形式。
步骤 4/6
目标：证明W = W1 + W2
对任意$\alpha \in W$，有$h(\mathscr{A})\alpha = 0$。由恒等式得$\alpha = u(\mathscr{A})f(\mathscr{A})\alpha + v(\mathscr{A})g(\mathscr{A})\alpha$。令$\alpha_1 = v(\mathscr{A})g(\mathscr{A})\alpha$，$\alpha_2 = u(\mathscr{A})f(\mathscr{A})\alpha$。则$f(\mathscr{A})\alpha_1 = f(\mathscr{A})v(\mathscr{A})g(\mathscr{A})\alpha = v(\mathscr{A})h(\mathscr{A})\alpha = 0$，故$\alpha_1 \in W_1$；同理$g(\mathscr{A})\alpha_2 = g(\mathscr{A})u(\mathscr{A})f(\mathscr{A})\alpha = u(\mathscr{A})h(\mathscr{A})\alpha = 0$，故$\alpha_2 \in W_2$。所以$\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 \in W_1 + W_2$，即$W \subseteq W_1 + W_2$。又由(1)知$W_1, W_2 \subseteq W$，故$W_1 + W_2 \subseteq W$。因此$W = W_1 + W_2$。
公式：$\alpha = u(\mathscr{A})f(\mathscr{A})\alpha + v(\mathscr{A})g(\mathscr{A})\alpha$
提示：注意$\alpha_1$和$\alpha_2$的定义，以及利用$h(\mathscr{A})\alpha=0$推导$f(\mathscr{A})\alpha_1=0$。
步骤 5/6
目标：证明W1 ∩ W2 = {0}
设$\beta \in W_1 \cap W_2$，则$f(\mathscr{A})\beta = 0$且$g(\mathscr{A})\beta = 0$。由恒等式$u(\mathscr{A})f(\mathscr{A}) + v(\mathscr{A})g(\mathscr{A}) = \mathcal{I}$，作用于$\beta$得$\beta = u(\mathscr{A})f(\mathscr{A})\beta + v(\mathscr{A})g(\mathscr{A})\beta = 0 + 0 = 0$。故$W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
公式：$\beta = u(\mathscr{A})f(\mathscr{A})\beta + v(\mathscr{A})g(\mathscr{A})\beta$
提示：注意$\beta$同时属于两个核，代入恒等式直接得零。
步骤 6/6
目标：结论：W = W1 ⊕ W2
由$W = W_1 + W_2$和$W_1 \cap W_2 = \{0\}$，根据直和的定义，$W = W_1 \oplus W_2$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
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