东南大学 2021年高等代数第6题
📝 题目
6．已知 $A$ 是 $\displaystyle s \times n$ 列满秩矩阵，$B$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，证明 $\displaystyle r(A B)=r(B)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解已知条件
已知 $A$ 是 $s \times n$ 列满秩矩阵，即 $\operatorname{rank}(A)=n$，且 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵。需要证明 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(B)$。
提示：注意列满秩意味着 $A$ 的列向量线性无关，秩等于列数 $n$。
步骤 2/7
目标：对矩阵 $A$ 进行标准形分解
由于 $\operatorname{rank}(A)=n$，存在可逆矩阵 $P$（$s \times s$）和 $Q$（$n \times n$）使得 $A = P \begin{pmatrix} I_n \\ 0 \end{pmatrix} Q$，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：$A = P \begin{pmatrix} I_n \\ 0 \end{pmatrix} Q$
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆的，$\begin{pmatrix} I_n \\ 0 \end{pmatrix}$ 是 $s \times n$ 矩阵。
步骤 3/7
目标：计算 $AB$ 的表达式
将 $A$ 的分解代入 $AB$：$AB = P \begin{pmatrix} I_n \\ 0 \end{pmatrix} Q B = P \begin{pmatrix} Q B \\ 0 \end{pmatrix}$。
公式：$AB = P \begin{pmatrix} Q B \\ 0 \end{pmatrix}$
提示：注意矩阵乘法顺序，$Q B$ 是 $n \times m$ 矩阵，下方补零得到 $s \times m$ 矩阵。
步骤 4/7
目标：利用可逆矩阵不改变秩
由于 $P$ 可逆，左乘可逆矩阵不改变秩，所以 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} Q B \\ 0 \end{pmatrix}$。
公式：$\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} Q B \\ 0 \end{pmatrix}$
提示：可逆矩阵左乘或右乘不改变秩，但这里只有左乘 $P$，注意 $\begin{pmatrix} Q B \\ 0 \end{pmatrix}$ 的秩等于 $Q B$ 的秩，因为添加零行不改变秩。
步骤 5/7
目标：化简秩的表达式
矩阵 $\begin{pmatrix} Q B \\ 0 \end{pmatrix}$ 的秩等于 $Q B$ 的秩，因为零行不影响秩。所以 $\operatorname{rank}\begin{pmatrix} Q B \\ 0 \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(Q B)$。
公式：$\operatorname{rank}\begin{pmatrix} Q B \\ 0 \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(Q B)$
提示：注意：添加零行或零列不改变矩阵的秩。
步骤 6/7
目标：利用可逆矩阵不改变秩
由于 $Q$ 可逆，右乘可逆矩阵也不改变秩，所以 $\operatorname{rank}(Q B) = \operatorname{rank}(B)$。
公式：$\operatorname{rank}(Q B) = \operatorname{rank}(B)$
提示：可逆矩阵左乘或右乘都不改变秩，这里 $Q$ 是右乘 $B$。
步骤 7/7
目标：得出结论
由以上步骤，$\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B)$，得证。
提示：整个证明的关键是利用列满秩条件对 $A$ 进行分解，并利用可逆矩阵保秩的性质。
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