东南大学 2021年高等代数第7题

设 $m(x)$ 是极小 $\alpha$ 型多项式，$p(x)$ 是任意导向多项式。由带余除法，存在 $q(x), r(x) \in \mathbb{C}[x]$ 使得 $p(x) = q(x) m(x) + r(x)$，其中 $\deg r(x) < \deg m(x)$。代入 $\mathscr{A}$ 得 $p(\mathscr{A})\alpha = q(\mathscr{A}) m(\mathscr{A})\alpha + r(\mathscr{A})\alpha$。由于 $m(\mathscr{A})\alpha \in W$ 且 $W$ 是 $\mathscr{A}$-不变子空间，故 $q(\mathscr{A}) m(\mathscr{A})\alpha \in W$。又 $p(\mathscr{A})\alpha \in W$，所以 $r(\mathscr{A})\alpha = p(\mathscr{A})\alpha - q(\mathscr{A}) m(\mathscr{A})\alpha \in W$。若 $r(x) \neq 0$，则 $r(x)$ 是次数低于 $m(x)$ 的导向多项式，与 $m(x)$ 的极小性矛盾。故 $r(x)=0$，即 $m(x) \mid p(x)$。

考虑所有导向多项式的集合 $S = \{ p(x) \in \mathbb{C}[x] \mid p(\mathscr{A})\alpha \in W \}$。由于 $\alpha \neq 0$，存在非零多项式（例如 $\mathscr{A}$ 的特征多项式）使得 $p(\mathscr{A})\alpha = 0 \in W$，故 $S$ 非空。取 $S$ 中次数最小的多项式，并将其首项系数化为1，即得极小 $\alpha$ 型多项式 $m(x)$。

设 $m_1(x), m_2(x)$ 都是极小 $\alpha$ 型多项式。由（1）知 $m_1(x) \mid m_2(x)$ 且 $m_2(x) \mid m_1(x)$，又它们首项系数均为1，故 $m_1(x) = m_2(x)$。

由于 $W$ 是 $\mathscr{A}$-不变真子空间，考虑商空间 $V/W$ 上的诱导变换 $\bar{\mathscr{A}}$。取 $\bar{\alpha} \neq 0$（即 $\alpha \notin W$），则 $\bar{\alpha}$ 在 $\bar{\mathscr{A}}$ 下的极小多项式存在，设为 $\bar{m}(x)$。由于 $\mathbb{C}$ 是代数闭域，$\bar{m}(x)$ 有一次因子 $x-c$，即存在 $c \in \mathbb{C}$ 使得 $\bar{m}(c)=0$。令 $q(x) = \bar{m}(x)/(x-c)$，则 $\bar{m}(\bar{\mathscr{A}})\bar{\alpha}=0$，即 $(\bar{\mathscr{A}}-cI)q(\bar{\mathscr{A}})\bar{\alpha}=0$，故 $q(\bar{\mathscr{A}})\bar{\alpha} \in \ker(\bar{\mathscr{A}}-cI)$。但 $\ker(\bar{\mathscr{A}}-cI)$ 是 $V/W$ 的子空间，不一定对应 $W$。更直接地，由 $\bar{m}(\bar{\mathscr{A}})\bar{\alpha}=0$ 得 $\bar{m}(\mathscr{A})\alpha \in W$。而 $\bar{m}(x) = (x-c)q(x)$，所以 $(\mathscr{A}-cI)q(\mathscr{A})\alpha \in W$，即 $q(\mathscr{A})\alpha - c\alpha \in W$。注意这里 $q(\mathscr{A})\alpha$ 不一定等于 $\alpha$，但结论成立。