东南大学 2021年高等代数第8题
📝 题目
8．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 分别为对应的特征向量，若 $W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s} \in W$ ，证明 $\displaystyle \operatorname{dim} W \geq s$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造W中的向量组
设 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_s \in W$。由于 $W$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，对任意正整数 $k$，有 $\mathscr{A}^k(\alpha) \in W$。计算 $\mathscr{A}^k(\alpha) = \lambda_1^k \alpha_1 + \lambda_2^k \alpha_2 + \cdots + \lambda_s^k \alpha_s$。考虑向量组 $\alpha, \mathscr{A}(\alpha), \cdots, \mathscr{A}^{s-1}(\alpha)$，它们都属于 $W$。
公式：\mathscr{A}^k(\alpha) = \sum_{i=1}^s \lambda_i^k \alpha_i
提示：注意不变子空间的定义：对任意 $v \in W$，有 $\mathscr{A}(v) \in W$，从而 $\mathscr{A}^k(v) \in W$。
步骤 2/5
目标：假设线性相关并导出方程组
我们证明这 $s$ 个向量线性无关。设存在系数 $c_0, c_1, \cdots, c_{s-1}$ 使得 $c_0 \alpha + c_1 \mathscr{A}(\alpha) + \cdots + c_{s-1} \mathscr{A}^{s-1}(\alpha) = 0$。代入表达式得 $\sum_{j=0}^{s-1} c_j \sum_{i=1}^s \lambda_i^j \alpha_i = \sum_{i=1}^s \left( \sum_{j=0}^{s-1} c_j \lambda_i^j \right) \alpha_i = 0$。
公式：\sum_{i=1}^s \left( \sum_{j=0}^{s-1} c_j \lambda_i^j \right) \alpha_i = 0
提示：注意交换求和顺序时要小心。
步骤 3/5
目标：利用特征向量线性无关性
由于 $\alpha_1, \cdots, \alpha_s$ 属于不同特征值的特征向量，它们线性无关，故 $\sum_{j=0}^{s-1} c_j \lambda_i^j = 0$ 对每个 $i=1,\cdots,s$ 成立。
公式：\sum_{j=0}^{s-1} c_j \lambda_i^j = 0, \quad i=1,\cdots,s
提示：不同特征值的特征向量线性无关是重要性质。
步骤 4/5
目标：构造多项式并利用根与次数关系
即多项式 $f(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{s-1} x^{s-1}$ 有 $s$ 个不同的根 $\lambda_1, \cdots, \lambda_s$。但 $f(x)$ 的次数不超过 $s-1$，因此 $f(x)$ 是零多项式，即所有 $c_j = 0$。
公式：f(x) = \sum_{j=0}^{s-1} c_j x^j
提示：一个非零多项式最多有次数个根，这里根的数量大于次数，所以多项式为零。
步骤 5/5
目标：得出线性无关性并推出维数不等式
故这 $s$ 个向量线性无关，从而 $\dim W \geq s$。
提示：线性无关的向量组中向量个数不超过空间维数。
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