东南大学 2021年高等代数第9题
📝 题目
9．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle f, g$ 为 $V$ 上的两个变换，若 $f$ 为正交变换，且对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有
$$
(f(\alpha), \beta)=(\alpha, g(\beta))
$$
证明 $g$ 也是 $V$ 上的正交变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$f$ 是正交变换，即对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(f(\alpha), f(\beta)) = (\alpha, \beta)$。且对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(f(\alpha), \beta) = (\alpha, g(\beta))$。需要证明 $g$ 也是正交变换，即 $g$ 是线性变换且保持内积。
公式：$(f(\alpha), f(\beta)) = (\alpha, \beta)$
提示：注意正交变换的定义：保持内积的线性变换。
步骤 2/6
目标：证明 $g$ 是线性变换
对任意 $\alpha, \beta, \gamma \in V$ 和 $k \in \mathbb{R}$，利用已知条件：
\[
(\alpha, g(k\beta + \gamma)) = (f(\alpha), k\beta + \gamma) = k(f(\alpha), \beta) + (f(\alpha), \gamma) = k(\alpha, g(\beta)) + (\alpha, g(\gamma)) = (\alpha, k g(\beta) + g(\gamma)).
\]
由内积的非退化性，得 $g(k\beta + \gamma) = k g(\beta) + g(\gamma)$，故 $g$ 是线性变换。
公式：$(\alpha, g(k\beta+\gamma)) = (\alpha, k g(\beta)+g(\gamma))$
提示：内积的非退化性：若对任意 $\alpha$ 有 $(\alpha, \beta)=0$，则 $\beta=0$。这里需要利用该性质从内积相等推出向量相等。
步骤 3/6
目标：推导 $g$ 是 $f$ 的伴随变换
由已知条件 $(f(\alpha), \beta) = (\alpha, g(\beta))$ 对所有 $\alpha, \beta$ 成立，根据伴随变换的定义，$g$ 就是 $f$ 的伴随变换，记作 $g = f^*$。
公式：$(f(\alpha), \beta) = (\alpha, f^*(\beta))$
提示：伴随变换的定义：满足 $(T\alpha, \beta) = (\alpha, T^*\beta)$ 的线性变换 $T^*$ 称为 $T$ 的伴随。
步骤 4/6
目标：利用正交变换的性质得到 $g = f^{-1}$
由于 $f$ 是正交变换，正交变换是可逆的，且其逆等于其伴随，即 $f^{-1} = f^*$。因此 $g = f^* = f^{-1}$。
公式：$f^{-1} = f^*$
提示：正交变换的等价条件：$f$ 是正交变换当且仅当 $f$ 可逆且 $f^{-1}=f^*$。
步骤 5/6
目标：证明 $g$ 保持内积
对任意 $\alpha, \beta \in V$，计算 $(g(\alpha), g(\beta))$。利用已知条件：
\[
(g(\alpha), g(\beta)) = (f(g(\alpha)), \beta) = (f \circ g(\alpha), \beta).
\]
由于 $g = f^{-1}$，则 $f \circ g = \mathrm{id}$，所以 $(g(\alpha), g(\beta)) = (\alpha, \beta)$。因此 $g$ 保持内积。
公式：$(g(\alpha), g(\beta)) = (\alpha, \beta)$
提示：注意使用条件时，将 $\alpha$ 替换为 $g(\alpha)$，$\beta$ 不变。
步骤 6/6
目标：结论
由 $g$ 是线性变换且保持内积，根据正交变换的定义，$g$ 是 $V$ 上的正交变换。
提示：正交变换的定义：保持内积的线性变换。
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